Das Ogawa-Integral (auch nicht-kausales stochastisches Integral) ist ein stochastischer Integralbegriff für nicht-adaptierte Prozesse als Integranden. Um den entsprechenden Kalkül von dem des Skorochod-Integrals zu unterscheiden, spricht man vom nicht-kausalen Kalkül beim Ogawa-Integral und vom vorwegnehmenden () Kalkül beim Skorochod-Integral. Mit dem Begriff Kausalität meint man hier die Adaptiertheit an die natürliche Filtration des Wiener-Prozesses und dessen physikalische Interpretation. Ein nicht-adaptierter Prozess kann zu einem fixen Zeitpunkt auch von den zukünftigen Realisationen des Wiener-Prozesses abhängen. Ein anschauliches Beispiel für letzteres aus der Finanzmathematik wäre der Insiderhandel. Der Trader weiß im Voraus, wohin sich der Wiener-Prozess bewegt. Ein weiteres Beispiel wäre das Integral
wobei der Wiener-Prozess ist. Dies ist kein Itō-Integral, da der Integrand dem Integrator voraus ist und somit nicht an seine Filtration adaptiert sein kann.
Das Integral wurde 1979 von dem japanischen Mathematiker Ogawa Shigeyoshi eingeführt.
Ogawa-Integral Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, ein eindimensionaler Standard-Wienerprozess mit , und die natürliche Filtration, die borelsche σ-Algebra, ist das Itō-Integral (resp. Wiener-Integral), das Lebesgue-Maß.
Mit bezeichnen wir die Menge der reellwertigen Prozesse , welche -messbar und fast sicher in sind, das bedeutet
Ogawa-Integral Sei eine vollständige Orthonormalbasis des Hilbert-Raumes .
Ein Prozess heißt -integrierbar, falls die zufällige Reihe
in Wahrscheinlichkeit konvergiert. Wir nennen dieses Summe das Ogawa-Integral bezüglich der Basis .
Falls bezüglich jeder vollständigen Orthonormalbasis von -integrierbar ist und die Werte der Integrale übereinstimmen, dann nennt man universell Ogawa-integerierbar (oder u-integrierbar).
Das Ogawa-Integral kann auch bezüglich allgemeineren -Prozessen (wie zum Beispiel der gebrochenen Brownschen Bewegung) gebildet werden
sofern die Integrale
definiert sind.
Erläuterungen Die Konvergenz der Reihe hängt von der Wahl der Orthonormalbasis sowie von der Reihenfolge der Basis ab. Es existieren verschiedene äquivalente Definition, welche sich in () finden lassen. Eine Möglichkeit ist unter Verwendung des Satzes von Itō-Nisio.
Regularität der Orthonormalbasis Eine Orthonormalbasis heißt regulär, falls
Der Ausdruck in der Klammer muss also für alle eine endliche -Norm besitzen.
Folgende Resultate sind bekannt: Jedes Semimartingal (kausal oder nicht) ist genau dann -integrierbar, wenn regulär ist. Es wurde gezeigt, dass eine nicht-reguläre Basis für existiert.
Weiterführendes Es existiert eine nicht-kausale Itō-Formel, eine nicht-kausale Partielle-Integrations-Formel und eine nicht-kausaler Satz von Girsanow. Das Ogawa-Integral für mehrdimensionale Wiener-Prozesse wird in () untersucht.
Beziehungen zu anderen Integralbegriffen Stratonowitsch-Integral: Sei ein stetiges -adaptiertes Semimartingal und universell-Ogawa-integrierbar bezüglich des Wienerprozesses, dann existiert auch das Stratonowitsch-Integral und es stimmt mit dem Ogawa-Integral überein. Skorochod-Integral: Die Beziehungen zwischen dem Ogawa-Integral und dem Skorochod-Integral werden in () untersucht.
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Integralbegriff Kategorie:Stochastik