Der klassifizierende Raum der -ten unitären Lie-Gruppe klassifiziert -Prinzipalbündel (auch -Hauptfaserbündel genannt). Das bedeutet, dass ein -Prinzipalbündel über einem parakompakten topologischen Raum eineindeutig einer Homotopieklasse einer stetigen Abbildung von diesem nach entspricht. ist selbst der Basisraum (eng. base space) eines -Prinzipalbündels, woraus sich die Notation ergibt. Eine spezielle Anwendung sind U(1)-Hauptfaserbündel.
Definition Es gibt eine kanonische Inklusion von komplexen Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch . Deren direkter Limes ist:Mitchell 01, Seite 14
Da reelle Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:
überträgt sich die Gruppenstruktur auf .
Grundlegender Zusammenhang Zur Erklärung des obigen Zusammenhangs ist ein weiterer Raum notwendig: Der totale Raum der -ten unitären Lie-Gruppe ist schwach zusammenziehbar und verfügt über eine Gruppenwirkung von , wobei der Orbitraum genau ist. Durch Projektion auf Äquivalenzklassen gibt es daher das spezielle -Prinzipalbündel mit Faser , welches universelles -Hauptfaserbündel genannt wird. Jedes -Hauptfaserbündel auf einem parakompakten topologischen Raum lässt sich nun durch Rückzug von diesem entlang einer stetigen Abbildung erhalten, wobei homotope Abbildungen das gleiche -Prinzipalbündel erzeugen. Dadurch existiert eine Bijektion:
Kleinster klassifizierender Raum Es ist , wobei der unendliche komplexe projektive Raum ist und die -Sphäre ist. Beide entstehen jeweils als direkter/induktiver Limes der kanonischen Inklusionen beziehungsweise . Erstaunlicherweise ist die -Sphäre wie oben erwähnt tatsächlich schwach zusammenziehbar, sogar zusammenziehbar,Hatcher 02, Aufgabe 16 auf Seite 19 (ohne Beweis) obwohl keine der Sphären (schwach) zusammenziehbar ist.
Kohomologie Für den Kohomologiering von gilt:Lawson & Michelson 90, Theorem B.10Hatcher 02, Theorem 4D.4.
Unendlicher klassifizierender Raum Die kanonische Inklusionen induzieren kanonische Inklusionen auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:
bezeichnet. ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von .
Siehe auch
Klassifizierender Raum Klassifizierender Raum von O(n) Klassifizierender Raum von SO(n) Klassifizierender Raum von SU(n)
Literatur
Weblinks
classifying space auf nLab (englisch) BU(n) auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Raum Kategorie:Theorie der Lie-Gruppen