Tsirelsons stochastische Differentialgleichung (auch Tsirelsons Drift oder Tsirelsons Gleichung) ist eine stochastische Differentialgleichung, welche eine schwache Lösung besitzt aber keine starke Lösung. Sie ist somit ein Gegenbeispiel und benannt nach ihrem Entdecker Boris Tsirelson. Tsirelsons Gleichung ist von der Form
wobei die eindimensionale brownsche Bewegung ist. Tsirelson wählte den Drift so, dass dieser eine beschränkte messbare Funktion ist, welche von den vergangenen Zeitpunkten von abhängt, aber unabhängig von der natürlichen Filtration der brownschen Bewegung ist. Folglich existiert eine schwache Lösung, aber da der Prozess nicht -messbar ist, keine starke Lösung.
Tsirelsons Drift Sei und die natürliche brownsche Filtration, welche die üblichen Bedingungen erfüllt, und eine absteigende Folge so dass , und , der Nachkommateil.
Tsirelson definierte nun folgenden Drift
Sei nun
die Abkürzung für
Theorem Nach einem Satz von Tsirelson und Yor gilt:
1) Die natürliche Filtration von hat folgende Zerlegung
2) Für jedes ist gleichverteilt auf und unabhängig von resp. .
3) ist trivial, d. h. alle Ereignisse haben die Wahrscheinlichkeit oder .
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Stochastische Differentialgleichung Kategorie:Stochastischer Prozess