Der Interpolationssatz von Riesz-Thorin (oder Konvexitätssatz von Riesz-Thorin) ist ein Resultat aus der Operatortheorie, welches sagt, dass ein linearer Operator, welcher auf zwei Lp-Räumen (für unterschiedliche ) beschränkt ist, auch auf allen -Räumen für dazwischen liegende beschränkt ist. Die Aussage gilt dabei für . Das heißt also, zeigt man das ein Operator zum Beispiel auf und beschränkt ist, so gilt die Aussage nach dem Interpolationssatz auch für mit .
Die ursprüngliche reelle Variante des Satzes wurde 1926 von dem ungarischen Mathematiker Marcel Riesz bewiesen; sein schwedischer Student G. Olof Thorin erweiterte ihn 1936 dann auf die heutige komplexe Form. Die reelle Variante benötigt eine zusätzliche Restriktion in Form von für . Geometrisch gesehen führt dies dazu, dass die dazwischen liegenden Räume, welche mit und notiert werden, als Punkte in einem unteren Dreieck liegen. Im komplexen hingegen sind die Punkte im Quadrat .
Der Satz ist neben dem Interpolationssatz von Marcinkiewicz eine der Grundlagen der Interpolationstheorie für Operatoren.
Interpolationssatz Seien und zwei σ-endliche Maßräume. Mit bezeichnen wir die -Räume für komplex-wertige Funktionen und mit die Operatornorm
Wir formulieren nur den komplexen Fall vollständig, da der reelle Fall nur eine kleine Modifikation benötigt.
Komplexer Fall Seien mit und , sowie .
Sei ein beschränkter linearer Operator, so dass
mit und
Dann ist die Einschränkung
beschränkt mit Norm
wobei und durch und gegeben sind.
Reeller Fall Damit die Aussage im reellen Fall auch gilt, muss zusätzlich und gelten. Außerdem ändert sich die Abschätzung der Norm auf
Anwendungsbeispiele Der Satz kann verwendet werden, um die Faltungsungleichung von Young zu beweisen.
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis