Ein unvollständiges elliptisches Integral ist in seiner einfachsten Allgemeinform ein Integral von folgendem Typ:

Dabei stellt eine rationale Funktion in zwei Variablen und ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle dar. Das Integral heißt deswegen elliptisch, weil Integrale dieser Form bei der Berechnung der Kurvenlängen von Ellipsen und der Flächen von Ellipsoiden auftreten. Auch in der Physik wie insbesondere in der Mechanik und in der Elektrodynamik gibt es weitreichende Anwendungen von unvollständigen elliptischen Integralen.

Definition der drei Standardintegrale Unvollständige elliptische Integrale lassen sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen, sie können aber durch Umformungen in eine Summe von elementaren Funktionen und Integralen überführt werden. Diese Integrale werden unvollständige elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Art genannt. Der französische Mathematiker Adrien-Marie Legendre definierte diese drei Standardintegrale so:

I. Art: II. Art: III. Art:

Dabei ist der rechte Klammereintrag k gleich dem elliptischen Modul beziehungsweise der numerischen Exzentrizität. Zum Teil wird in der Literatur auch der Parameter statt in den Funktionsaufruf eingesetzt und der Definitionsbereich auf erweitert.

Alternative Bezeichnungsformen Für die genannten unvollständigen elliptischen Integrale erster, zweiter und dritter Art existieren sowohl in Bezug auf den linken als auch in Bezug auf den rechten Klammereintrag alternative Bezeichnungen. Die Formeln werden dementsprechend leicht variiert dargestellt. Während die Form mit dem dargestellten Buchstaben k als Legendresche Normalform bezeichnet wird, ist die Darstellung mit dem Modulquadrat im rechten Klammereintrag und somit mit dem Sondermodul m die sogenannte Parameterform. Der Begriff Legendresche Form bezieht sich außerdem auch auf den linken Klammereintrag und bezeichnet dort die Stammfunktion der betroffenen trigonometrischen Funktion nach dem oben genannten Schema. Wenn jedoch wie oben gezeigt die Substitution über die Kettenregel mit dem Arkussinus vollzogen wird, dann wird die neue zugehörige direkte Bezeichnungsform als Jacobische Form bezeichnet. Die direkte Umkehrfunktion zum vollständigen elliptischen Integral erster Art in der Jacobischen Form wird Sinus Amplitudinis genannt und ist in der Tat die Sinusfunktion aus der genannten Amplitudenfunktion. +Definition der unvollständigen elliptischen Integrale mit Parametern und Konvention mit Parameter Konvention mit Parameter I. Art: Jacobi-FormI. Art: Legendre-NormalformII. Art: Jacobi-FormII. Art: Legendre-NormalformIII. Art: Jacobi-FormIII. Art: Legendre-Normalform

Jacobische elliptische Funktionen Carl Gustav Jacob Jacobi führte als Umkehrfunktion des unvollständigen elliptischen Integrals erster Art bezüglich der Amplitude die Jacobische Amplitudenfunktion ein. Sie ist für festes Modul durch

beziehungsweise äquivalent durch

definiert. Aus der Jacobischen Amplitudenfunktion lassen sich die Jacobischen elliptischen Funktionen ableiten.

Additionstheoreme

Mit folgenden Theoremen können die unvollständigen elliptischen Integrale erster und zweiter Art additiv verknüpft werden. Zur Darstellung wird die Legendre-Normalform verwendet.

Für elliptische Integrale erster Art gilt , für elliptische Integrale zweiter Art .

Dabei ist bestimmt durch

bzw. .

Modultransformation der unvollständigen Integrale Durch innere Substitution mit dem Arkustangens erhält man folgende Identitäten:

Die Landensche Transformation erfolgt grundsätzlich nach folgendem Muster:

Insbesondere die analoge vollständige Formel wurde durch die Gebrüder Borwein in ihrem Werk Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity behandelt.

Für alle Werte n ∈ ℕ und |k| ≤ 1 gilt folgende Formel:

Ableitungen der unvollständigen Integrale

Die Ableitungen der unvollständigen elliptischen Integrale erster und zweiter Art nach (Legendre-Form) sind:

Wichtige weitere Stammfunktionen

Liste der Ursprungsstammfunktionen Das unvollständige elliptische Integral erster Art dient ebenso zur Darstellung der Ursprungsstammfunktionen von folgenden Funktionen:

Bezug zur Gammafunktion Für alle n ∈ ℕ gilt folgender Zusammenhang zwischen der Gammafunktion und den elliptischen Integralen:

Bei der Berechnung des abgebildeten Integrals für die Werte n = 3, 4, 6 und 8 erhält man folgende Resultate:

Mit der Berechnung dieser Integrale und der Anwendung der Eulerschen Formel des Ergänzungssatzes lassen sich die Gamma-Funktionswerte ermitteln. Der erste und dritte Gleichungskette von den hier genannten Gleichungsketten stellen äquianharmonische Rechenbeispiele dar. Die Herleitung dieser gezeigten Integrale wurde insbesondere durch den Mathematiker Mark B. Villarino aus der Universität Costa Rica behandelt und in seinem Werk Legendre’s Singular Modulus niedergeschrieben. Die zweite Gleichungskette repräsentiert ein lemniskatisches Rechenbeispiel, nämlich den lemniskatischen Arkussinus und behandelt hierbei seine Identität mit dem Kehrwert der Quadratwurzel aus Zwei als elliptischen Modul. Die vierte Gleichungskette beinhaltet eine Stammfunktion, welche keine Umkehrfunktion einer Jacobi-Funktion darstellt, aber in so wie die vorherigen Gleichungsketten auf den von rationalen Zahlen kommenden elliptischen Lambda-Stern-Werten als Module basiert.

Einsatz in den Programmiersprachen mini|300x300px|Graph der elliptischen Integrale erster Art in Legendre-Form für verschiedene Parameter mini|300x300px|Graph der elliptischen Integrale zweiter Art in Legendre-Form für verschiedene Parameter In der nachfolgenden Tabelle sind die Definitionen der unvollständigen elliptischen Integrale in Jacobi-Form und in Legendre-Normalform angegeben. Die Jacobi-Form lässt sich mit der Substitution in die Legendre-Normalform überführen. Die unvollständigen elliptischen Integrale besitzen im Vergleich zu den vollständigen elliptischen Integralen einen zusätzlichen Freiheitsgrad, welcher der oberen Integrationsgrenze entspricht. Somit stellen die vollständigen elliptischen Integrale einen Spezialfall der Unvollständigen dar. In den Funktions-Bibliotheken von Matlab, Wolfram-Alpha, Mathematica, Python (SciPy) und GNU Octave ist der Parameter und die Legendre-Normalform in Verwendung.

Literatur Irene Stegun und Milton Abramowitz: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. Dover, New York 1972. Seite 589 ff. Louis Vessot King: On the direct numerical calculation of elliptic functions and integrals. Cambridge University Press, 1924, archive.org. Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM. A study in analytical Number Theory and Computational Complexity. John Wiley & Sons, 1987. Harris Hancock: Elliptic Integrals. John Wiley & Sons, 1917. P. F. Byrd, M. D. Friedman: Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists. Springer-Verlag, 1971. Viktor Prasolov, Yuri Solovyev: Elliptic Functions and Elliptic Integrals. AMS, 1997. Mümtaz Karataş: A multi foci closed Curve: Cassini Oval, its properties and applications. Naval Postgraduate School, Monterey, Kalifornien, 2013, pp. 231–248

Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987. Peter Borwein, Jonathan Borwein und David Bailey: Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi, or How to Compute One Billion Digits of Pi. Amer. Math. Monthly 96, 201–219, 1989. Mark B. Villarino: Legendre’s Singular Modulus. Escuela de Matem ́atica, Universidad de Costa Rica, 11501 San Jos ́e, Costa Rica, 2020.

Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003. Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, 2007.

Einzelnachweise

Kategorie:Integralrechnung