Eine Kettenwurzel ist ein Ausdruck der Form , wobei und eine Folge positiver reeller Zahlen ist.
Aus einer so definierten Kettenwurzel lässt sich die Kettenwurzel-Folge mit , , , , … bilden.
Beispiele quadratischer Kettenwurzeln Ist , so sind Quadratwurzeln (). Für ist
der Goldene Schnitt. Für gilt . Näherungsweise gilt: Mit :
Mit :
Mit :
Dieses letzte Beispiel verdeutlicht in besonderer Weise, dass trotz einer rapide anwachsenden Folge die zugehörige Kettenwurzel einen endlichen Wert annehmen kann.
Konvergenzkriterium Gegeben sei eine Kettenwurzel-Folge mit der zugrunde liegenden Kettenwurzel und der Folge positiver reeller Zahlen ().
Dann konvergiert genau dann, wenn es eine reelle Zahl gibt mit .Detlef Laugwitz: Kettenwurzeln und Kettenoperationen In: Elemente der Mathematik, Vol. 45, Nr. 4, Seiten 89–98, Basel, Juli 1990 http://doi.org/10.5169/seals-42415
Alle Kettenwurzel-Folgen in den obigen Beispielen sind nach diesem Kriterium konvergent.
Konvergenz bei konstanten zugrundeliegenden Folgen Grenzwerte bei speziellen konstanten Folgen mini|hochkant=2.5|Konvergenzvergleich der Kettenwurzel-Folgen nach dem Konvergenzkriterium für verschiedene Folgen Da in den ersten beiden Beispielen die Folge jeweils konstante Glieder hat, tritt für beliebiges jeder Rest-Abschnitt der betreffenden Kettenwurzel als Grenzwert von auf. Somit lässt sich jeweils folgendermaßen bestimmen, wobei stets nur die positive Lösung infrage kommt:
Im ersten Beispiel:
Im zweiten Beispiel: Unendliche Kettenbrüche und Kettenwurzeln aus hs-fulda.de, abgerufen am 3. Mai 2023
Grenzwerte bei allgemeinen konstanten Folgen Ersetzt man in den ersten beiden Beispielen allgemein die Zahlen bzw. durch , so ergibt sich analog:
Für ist beispielsweise der nächste ganzzahlige Grenzwert.
Literatur Pierre Collet, Jean-Pierre Eckmann: Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems Birkhäuser Verlag, Basel 1986 Oskar Perron: Die Lehre von den Kettenbrüchen, Band 2, dritte Auflage, Stuttgart 1957, Seite 46 Walter S. Sizer: Continued roots Mathematics Magazine 59, 23–27 (1986), https://doi.org/10.1080/0025570X.1986.11977215
Weblinks Peter Kubach: Kettenwurzel und Kettenbruch aus kubach-mathe.de, abgerufen am 3. Mai 2023 Hans Walser: Kettenwurzeln aus walser-h-m.ch, abgerufen am 3. Mai 2023
Einzelnachweise
Kategorie:Folgen und Reihen