Die zylindrische σ-Algebra ist eine σ-Algebra, welche durch die Zylindermengen eines Vektorraumes erzeugt wird. Die Zylindermengen hängen von einem Raum von linearen Funktionalen ab, dies kann zum Beispiel der topologische Dualraum sein, die zylindrische σ-Algebra ist dann die kleinste σ-Algebra, so dass diese Funktionen messbar sind. Die zylindrische σ-Algebra ist eine Teilmenge der borelschen σ-Algebra und im Allgemeinen nicht gleich.

Definition Sei ein reeller Vektorraum und sein algebraischer Dualraum. Weiter sei ein Vektorraum von linearen Funktionalen auf und die borelsche σ-Algebra auf .

Zylindermengen Wir nennen eine Menge der Form

für und eine -Zylindermenge. Man nennt die Basis des Zylinders und seine Erzeuger.

Zylindrische σ-Algebra Die Familie aller -Zylindermengen notieren wir mit , das ist die Menge

wobei σ-Algebren sind. Diese ist im Allgemeinen nur eine Algebra und wird zylindrische Algebra genannt. Die kleinste σ-Algebra, die enthält, ist die σ-Algebra

und wird zylindrische σ-Algebra oder auch -zylindrische σ-Algebra genannt. Weiter gilt

Schreibt man nur dann meint man in der Regel einfach die σ-Algebra aller Zylindermengen von .

Erläuterungen Die Zylindermengen hängen von endliche vielen Funktionalen ab

Wichtiger Spezialfall Der wichtigste Spezialfall ist, wenn ein lokalkonvexer Raum und der topologische Dualraum ist. Die zylindrische σ-Algebra ist gerade die kleinste σ-Algebra, so dass alle stetigen linearen Funktionale messbar sind.

Oder in anderen Worten, die σ-Algebra wird durch die Mengen der Form

mit und erzeugt.

Eigenschaften Die zylindrische σ-Algebra stimmt mit der Produkt-σ-Algebra der Teilräume überein. Sei ein Produktraum von lokalkonvexen Räumen und seien dazugehörige Vektorräume linearer Funktionale auf mit Dann gilt

Vergleich zu anderen σ-Algebren Im Allgemeinen gilt

wobei die bairesche σ-Algebra ist.

Ist zum Beispiel und überabzählbar, dann gilt .

Für den topologischen Dualraum gilt

Seien und zwei lokalkonvexe Räume. Dann gilt im Allgemeinen für nicht separable Räume und die borelsche σ-Algebra , deshalb kann es passieren, dass die Vektoraddition bezüglich nicht messbar ist. Für die zylindrische σ-Algebra gibt es solche messbaren Probleme nicht, denn es gilt .

Gleichheit zur borelschen σ-Algebra Eines der frühsten Resultate ist der Satz von Mourier, welcher sagt, dass die beiden σ-Algebra in separablen normierten Räumen übereinstimmen. Es gibt heutzutage aber allgemeinere Formulierungen: Ein Lindelöf-Raum heißt erblich, wenn jeder seiner offenen Unterräume auch ein Lindelöf-Raum ist. Sei ein lokalkonvexer Raum, der hausdorff und auch ein erblicher Lindelöf-Raum ist. Dann gilt folgende Gleichheit

Ist ein separabler Fréchet-Raum (insbesondere jeder separable Banach-Raum) und eine Menge, welche die Punkte in trennt (d. h. für jedes existiert ein mit ), so gilt

Insbesondere gilt wegen des Satzes von Hahn-Banach für einen separablen Fréchet-Raum

Ist ein polnischer Raum und eine Menge, welche die Punkte in trennt, so gilt auch Gleichheit

Sei ein separabler, metrisierbarer lokalkonvexer Raum und sei die durch den topologischen Dualraum induzierte schwache Topologie. Dann stimmen die durch bzw. induzierten Borelschen σ-Algebren sowie die zylindrische σ-Algebra überein, das

Gleichheit zur baireschen σ-Algebra Es gilt

wobei der Raum der stetigen und beschränkten Funktionen ist.

Literatur

Siehe auch Zylindrisches Maß Maßtheorie in topologischen Vektorräumen

Einzelnachweise

Kategorie:Σ-Algebra Kategorie:Maßtheorie