Die bairesche σ-Algebra ist in der Maßtheorie die kleinste σ-Algebra eines topologischen Raumes, so dass die reellwertigen stetigen Funktionen messbar sind. Sie wird durch die Baire-Mengen erzeugt, diese sind Borel-Mengen, die keine pathologischen Eigenschaften besitzen. Die bairesche σ-Algebra ist somit eine Unter-σ-Algebra der borelschen σ-Algebra
Die bairesche σ-Algebra ist nach René Louis Baire benannt. In der Literatur existieren unterschiedliche Definition der Baire-Mengen, die zum Teil nicht äquivalent sind. Folglich gibt es auch unterschiedliche Definitionen der baireschen σ-Algebra und des Baire-Maßes. Wir folgen Wladimir Igorewitsch Bogatschow.
Bairesche σ-Algebra Sei ein topologischer Raum und der Raum der reellwertigen, stetigen Funktionen über . Die bairesche σ-Algebra wird durch die Mengen
erzeugt, wobei .
Eigenschaften Die gleiche σ-Algebra wird durch die beschränkten, stetigen Funktionen erzeugt. Die σ-Algebra wird durch die Mengen mit erzeugt. Vergleich zu anderen σ-Algebren In einem metrischen Raum gilt . Sei eine überabzählbare Menge und (beachte, ist nicht metrisierbar). Dann ist , aber wobei die zylindrische σ-Algebra bezeichnet.
Baire-Menge Eine Menge in heißt Baire-Menge. Ein Maß heißt Baire-Maß.
Eigenschaften Jede Baire-Menge ist durch eine abzählbare Familie von Funktionen bestimmt, das heißt sie haben die Form
und alle Mengen dieser Form sind Baire-Mengen und kann durch ersetzt werden.
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Σ-Algebra Kategorie:Maßtheorie