Typ und Kotyp eines Banach-Raumes sind eine Klassifikation von Banach-Räumen und ein Maß dafür, wie weit ein Banach-Raum von einem Hilbert-Raum entfernt ist.

Ausgangspunkt ist die pythagoreische Identität eines Hilbert-Raumes. In einem Hilbert-Raum gilt für orthogonale Vektoren die Identität

Dies ist in allgemeinen Banach-Räumen nicht mehr der Fall. Die Orthogonalität wird in der Definition mit Hilfe von Rademacher-Zufallsvariablen formuliert, deshalb spricht man auch von Rademacher-Typ und Rademacher-Kotyp.

Der Begriff geht zurück auf den französischen Mathematiker Jean-Pierre Kahane.

Definition Sei ein Banach-Raum und ein Wahrscheinlichkeitsraum. Weiter sei eine Folge von unabhängigen Rademacher-Zufallsvariablen, das heißt es gilt

sowie und und paarweise Orthogonalität für .

Im Allgemeinen steht in keine Orthogonalitätsstruktur zur Verfügung, deshalb schaut man sich die Orthogonalität der Rademacher-Variablen im -Raum an, um die Geometrie von mit der von Hilberträumen zu vergleichen. Dadurch erhält man eine probabilistische Ersatzstruktur für die Orthogonalität.

bezeichnet den Erwartungswert bezüglich der gemeinsamen Verteilung der Zufallsvariablen . Typ eines Banach-Raumes

ist vom Typ mit , falls eine endliche Konstante existiert, so dass

für alle endlichen Folgen . Die beste Konstante nennen wir Type--Konstante und notieren sie mit .

Kotyp eines Banach-Raumes

ist vom Kotyp mit , falls eine endliche Konstante existiert, so dass

respektive

für alle endlichen Folgen . Die beste Konstante nennen wir Kotyp--Konstante und notieren sie mit .

Erläuterungen Durch ziehen der -ten resp. -ten Wurzel erhält man die Gleichung für die (Bochner)--Norm

Eigenschaften Die Gleichung lässt sich auch verkürzt mit der Bochner-Lebesgue-Norm schreiben. Jeder Banach-Raum ist von Typ (folgt aus der Dreiecksungleichung). Ein Banach-Raum: ist von Typ und Kotyp genau dann, wenn er isomorph zu einem Hilbert-Raum ist, dann gilt die pythagoreische Identität, siehe Satz von Kwapień-Maurey. der vom Typ ist, ist auch vom Typ . der vom Kotyp ist, ist auch vom Kotyp . der vom Typ (mit ) ist, besitzt einen Dualraum vom Kotyp , wobei der konjugierte Index ist. Weiter gilt

In Banach-Räumen vom Typ gilt eine Version des zentralen Grenzwertsatz, wie von Jørgen Hoffmann-Jørgensen und Gilles Pisier gezeigt wurde.

Beispiele Die -Räume für sind vom Typ und vom Kotyp , das heißt ist vom Typ , ist vom Typ usw. Die -Räume für sind vom Typ und vom Kotyp . ist vom Typ und vom Kotyp .

Literatur

Einzelnachweise

Kategorie:Funktionalanalysis