Ein UMD-Raum (von ) ist in der Funktionalanalysis und der stochastischen Analysis ein Banach-Raum, in dem alle Martingal-Differenzenfolgen eines beliebigen endlichen Martingals unbedingt konvergente Reihen sind. Solche Räume besitzen viele der guten Eigenschaften eines Hilbert-Raumes und Martingal-Differenzfolgen teilen Eigenschaften von orthogonalen Folgen. Man sagt, dass Banach-Räume die UMD-Eigenschaft besitzen, wenn sie UMD-Räume sind.
Der Begriff wurde von den französischen Mathematiker Bernard Maurey und Gilles Pisier eingeführt. Motivation war es, eine genügend große Klasse von Banach-Räumen zu finden, so dass auch klassische Banach-Räume wie die Lp-Räume für enthalten sind, die Räume sich aber trotzdem wie Hilbert-Räume verhalten, deshalb lassen sich viele der Aussagen für Hilbert-Räume direkt auf UMD-Räume übertragen. Obwohl der UMD-Raum eine probabilistische Definition hat, stellt sich heraus, dass die UMD-Eigenschaft zu einigen analytischen Eigenschaften äquivalent ist, wie zum Beispiel, dass die Hilbert-Transformation auf beschränkt ist.
Um den Begriff des UMD-Raumes zu definieren, führt man zuerst den UMD-Raum für ein ein. Ein tiefes Resultat von Maurey und Pisier sagt dann, dass ein Banach-Raum, der ein UMD-Raum für ein bestimmtes ist, auch ein UMD-Raum für alle anderen ist. Deshalb spricht man häufig nur von UMD-Räumen.
Mit Hilfe von UMD-Räumen lässt sich die Itô-Isometrie auf Banach-Räume erweitern und folglich ergibt sich eine Theorie der stochastischen Integration bezüglich einer brownschen Bewegung für Banach-wertige Zufallsvariablen.
UMD-Raum Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Filtration und ein Banach-Raum. Mit meinen wir .
Grundbegriffe Eine Reihe heißt unbedingt konvergent falls für jede Folge mit die Reihe
konvergiert. Sei ein -wertiges -adaptiertes Martingal. ist ein -Martingal, falls für alle , das bedeutet . Für ein Martingal ist die Martingal-Differenzfolge definiert als
mit . Ist ein -Martingal, dann nennt man eine -Martingal-Differenzfolge.
Definition Sei eine Folge mit für alle .
Ein Banach-Raum ist ein UMDp-Raum, falls für ein eine Konstante existiert, so dass für alle -wertigen -Martingale-Differenzfolgen mit und alle die folgende Ungleichung gilt
Erläuterungen Die in der Gleichung benützte Norm ist die Norm von . Analog lässt sich die Gleichung auch mittels der -Norm schreiben. Die bilden eine unbedingt konvergente Basis in . Ersetzt man mit erhält man die Umgekehrte-Gleichung
Der Wahrscheinlichkeitsraum lässt sich durch einen beliebigen σ-endlichen Raum ersetzen.
p-Unabhängigkeit Falls ein UMD-Raum für ein ist, dann ist auch ein UMD-Raum für alle .
Eigenschaften Alle UMD-Räume sind reflexiv. Sie sind sogar super-reflexiv. Alle UMD-Räume sind K-konvex. Beziehung zu singulären Integraloperatoren Eine rein analytische Charakterisierung der UMD-Räume über die Hilbert-Transformation stammt von Burkholder (Burkholder, D.L.: A geometric condition that implies the existence of certain singular integrals of Banach-space-valued functions. In: Conference on Harmonic Analysis in Honor of Antoni Zygmund, vol. I, II (Chicago, Ill., 1981), pp. 270–286, Wadsworth Math. Ser., Wadsworth (1983)) und Bourgain (). Es sei ein beliebiger UMD-Raum und der Torus. Dann bewiesen sie, dass die UMD-Räume gerade diejenigen Räume sind, auf denen die Hilbert-Transformation auf beschränkt ist, die Riesz-Projektion auf beschränkt ist, und somit sind sie auch für alle beschränkt.
Existenz einer symmetrischen, bikonvexen Funktion Folgendes ist äquivalent: ist ein UMD-Raum Es existiert eine symmetrische, bikonvexe Funktion auf , so dass und falls
Beispiele Folgende Räume sind u. a. UMD-Räume: alle endlich-dimensionalen Räume alle Hilbert-Räume die -Räume für die Sobolew-Räume für die Schatten-Klassen für reflexive Besov-Räume reflexive Birnbaum-Orlicz-Räume
Räume ohne UMD-Eigenschaft Alle nicht-reflexiven Räume (, usw. für ein σ-endlicher Raum )
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Normierter Raum Kategorie:Funktionalanalysis Kategorie:Stochastik