mini|Büste von Albert Einstein im Deutschen Museum in München Die allgemeine Relativitätstheorie (; kurz ART) beschreibt die Wechselwirkung zwischen Materie (einschließlich Feldern), Raum und Zeit. Sie deutet Gravitation als geometrische Eigenschaft der gekrümmten vierdimensionalen Raumzeit. Die Grundlagen der Theorie wurden maßgeblich von Albert Einstein entwickelt, der den Kern der Theorie am 25. November 1915 der Preußischen Akademie der Wissenschaften vortrug. Zur Beschreibung der gekrümmten Raumzeit bediente er sich der Differentialgeometrie.
Die allgemeine Relativitätstheorie erweitert die spezielle Relativitätstheorie und das Newtonsche Gravitationsgesetz und geht bei hinreichend kleinen Raumzeitgebieten bzw. Massedichten und Geschwindigkeiten in diese über. In zahlreichen Tests der allgemeinen Relativitätstheorie wurde sie experimentell bestätigt und gilt in der von Einstein formulierten Form als einzige allgemein anerkannte Gravitationstheorie.
Ungeklärt ist ihre Beziehung zur Quantenphysik, dem zweiten Grundpfeiler der modernen Physik des 20. Jahrhunderts. Daher gibt es noch keine vereinheitlichte Theorie der Quantengravitation.
Einführung Grundlegend für die allgemeine Relativitätstheorie ist eine Wechselwirkung zwischen allen Typen physikalischer Systeme, die Energie und Impuls tragen können („Materie“), und der Raumzeit mit zwei Eigenschaften: Energie und Impuls der Materie beeinflussen die Geometrie der Raumzeit, in der sie sich befinden. Dieser Einfluss lässt sich über einen allgemeinen Krümmungsbegriff formulieren, und in der ART werden Raum und Zeit durch den Begriff der Raumzeitkrümmung beschrieben. Materie, auf die keine Kraft ausgeübt wird, bewegt sich in Raum und Zeit entlang einer Geodäte. In ungekrümmten Räumen (frei von Gravitation) sind solche Geodäten einfache Geraden, wie etwa im 3-dimensionalen Raum der klassischen Mechanik. Während jedoch der Einfluss von Materie auf Bewegung in der klassischen Mechanik mithilfe einer gravitativen Kraft beschrieben wird, verweist die ART ausschließlich auf die nunmehr gekrümmte Geometrie der Raumzeit. Ebenso wie in der speziellen Relativitätstheorie wird dabei die Bewegung eines Gegenstands entlang eines bestimmten Weges im Raum abstrakter als Weg in den vier Dimensionen der Raumzeit interpretiert und als Weltlinie bezeichnet. Erfolgt die Bewegung dabei kräftefrei (abgesehen von der Gravitation), ist die Weltlinie eine zeitartige Geodäte. Allerdings ist eine zeitartige Geodäte der Raumzeit im Allgemeinen keine Gerade im dreidimensionalen Raum, sondern eine Verbindung zwischen zwei Ereignissen mit zeitartigem Abstand, für welche die verstrichene Eigenzeit einen Extremwert annimmt.
Die erste Aussage beschreibt eine Wirkung der Materie auf die Raumzeit, die zweite beschreibt die Auswirkung der Raumzeit auf die Bewegung der Materie. Die Anwesenheit von Materie verändert also die geometrischen Verhältnisse der Raumzeit, aus denen sich auch die Bewegungsgleichungen der Materie ergeben. Die ART betrachtet dabei die räumlichen und zeitlichen Koordinaten als gleichberechtigt und behandelt alle zeitlichen Änderungen als geometrisches Problem.
Geschichte Verallgemeinerung des Äquivalenzprinzips Das klassische Äquivalenzprinzip, manchmal auch als schwaches Äquivalenzprinzip bezeichnet, geht auf Überlegungen Galileo Galileis (1636/38) und Experimente auf dem Gebiet der Kinematik zurück. Die ursprüngliche Formulierung des Äquivalenzprinzips von Galilei besagt, dass alle Körper unabhängig von ihren Eigenschaften im Vakuum dasselbe Fallverhalten aufweisen. Das heißt, zwei Körper unter Einfluss der Schwerkraft, die den gleichen Ort zu aufeinander folgenden Zeiten verlassen, verhalten sich in dem Sinne identisch, dass sie dieselbe Bahn durchlaufen, unabhängig von allen anderen Eigenschaften der Körper wie chemischer Zusammensetzung, Größe, Form und Masse. Die Einschränkung auf das Vakuum ergibt sich dadurch, dass sonst Reibungseffekte und Auftriebskräfte eine Rolle spielen, die von den Eigenschaften des Gegenstands abhängig sind. Isaac Newton formulierte in seiner Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) das Äquivalenzprinzip als Gleichheit von träger Masse und schwerer Masse. Das heißt, dass im Gravitationsgesetz und im Trägheitsgesetz dieselbe Masse vorkommt.
Albert Einstein hielt das Äquivalenzprinzip, das 1900 durch das Eötvös-Experiment bereits mit einer Genauigkeit von 10−9 bestätigt war, für eine entscheidende Eigenschaft der Gravitation. Daher erweiterte Einstein das Prinzip auf nichtmechanische Phänomene und machte es zum Ausgangspunkt seiner Gravitationstheorie.
Die Aufstellung der Feldgleichungen Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie wurden im Wesentlichen von Albert Einstein entwickelt. Er benutzte die von Carl Friedrich Gauß, Bernhard Riemann, Elwin Bruno Christoffel, Gregorio Ricci-Curbastro und Tullio Levi-Civita entwickelte Differentialgeometrie, wie er sie von Marcel Grossmann, einem befreundeten Mathematiker, gelernt hatte. Mittels dieser Differentialgeometrie formulierte er in der Raumzeit – die Hermann Minkowski für die spezielle Relativitätstheorie eingeführt hatte – die Gravitation als Eigenschaft der Maßverhältnisse. Überlegungen von Ernst Mach beeinflussten Einsteins Überzeugung, dass auch unter dem Einfluss von Gravitation nur Bewegung relativ zu anderen Körpern physikalisch erheblich sei.
Die erste Veröffentlichung, die der allgemeinen Relativitätstheorie zugerechnet werden kann, ist eine 1908 veröffentlichte Arbeit Albert Einsteins über den Einfluss von Gravitation und Beschleunigung auf das Verhalten von Licht in der speziellen Relativitätstheorie. In dieser Arbeit formuliert er bereits das Äquivalenzprinzip und sagt die gravitative Zeitdilatation und Rotverschiebung sowie die Lichtablenkung durch massive Körper vorher. Der Hauptteil der Theorie wurde aber erst in den Jahren von 1911 bis 1915 mit Unterstützung von Marcel Grossmann erarbeitet. Den Beginn seiner Arbeit markiert dabei eine zweite Veröffentlichung zur Wirkung der Gravitation auf Licht im Jahr 1911, in der Einstein seine Veröffentlichung von 1908 aufarbeitet.Albert Einstein: Über den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes. In: Annalen der Physik. 35, 1911, S. 898–908 (Faksimile, PDF).
Bevor er die Arbeit abschloss, veröffentlichte Einstein 1913 einen Entwurf für die Relativitätstheorie, der bereits eine gekrümmte Raumzeit verwendete.Albert Einstein, Marcel Grossmann: Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation. In: Zeitschrift für Mathematik und Physik. 62, 1913, S. 225–261. Sowie Separatabdruck in B.G. Teubner, Leipzig und Berlin, 1913, siehe 𝑛Lab-Link. Aufgrund anfänglicher Schwierigkeiten mit dem Prinzip der allgemeinen Kovarianz, das sich später als korrekt erwies, verfolgte Einstein zunächst einen falschen Ansatz, bevor ihm 1915 der Durchbruch gelang. Während seiner Arbeit hielt er Vorträge und suchte den Austausch mit Mathematikern wie Marcel Grossmann und David Hilbert.
Im Oktober 1915 veröffentlichte Einstein eine Arbeit über die Periheldrehung des Merkur,Albert Einstein: Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie. In: Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften. 1915, S. 831–839. in der er von Feldgleichungen ausging, die mit der lokalen Erhaltung von Energie und Impuls nicht kompatibel waren. Im November 1915 fand er schließlich die richtigen Feldgleichungen und veröffentlichte sie in den Sitzungsberichten der Preußischen Akademie der Wissenschaften am 25. November 1915, zusammen mit einer neuen Berechnung der Periheldrehung des Merkurs und der Lichtablenkung an der Sonne. Hilbert reichte zwar fünf Tage zuvor eine Arbeit bei der Göttinger Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften ein, doch die Korrekturfahnen seiner Arbeit enthalten nicht die vollständigen Feldgleichungen und sind zudem nur teilweise erhalten.Darauf wiesen Corry, Renn, Stachel in Science. Band 278, 1997, S. 1270 hin. Ein mitunter behaupteter Prioritätsstreit zwischen Einstein und Hilbert fand nie statt, da Hilbert lediglich einen rechnerischen Teilaspekt mit seiner überlegenen Kenntnis der Tensoranalysis löste – ein Gebiet, in das sich Einstein zu dieser Zeit noch einarbeitete., ausführlich in Daniela Wuensch: Zwei wirkliche Kerle. 2. Auflage. Termessos Verlag, 2007. Siehe auch Klaus P. Sommer: Wer entdeckte die Allgemeine Relativitätstheorie? Prioritätsstreit zwischen Hilbert und Einstein. In: Physik in unserer Zeit. 36, Nr. 5, 2005, S. 230–235, .
Einsteins späterer Artikel Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie kann als der erste umfassende Übersichtsartikel zur ART angesehen werden. Er wurde am 20. März 1916 in den Annalen der Physik publiziert, etwa zwei Monate nachdem Einstein der Preußischen Akademie der Wissenschaften die von Karl Schwarzschild abgeleitete exakte Lösung seiner Feldgleichungen vorgestellt hatte.
Auf Hilbert geht das Wirkungsfunktional der ART zurück, aus dem er die Feldgleichungen in seinem 1916 veröffentlichten Artikel ableitete.David Hilbert: Die Grundlagen der Physik. In: Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, Nachrichten (1915). S. 395–407.
Grundlegende Konzepte Die Ausgangspunkte der ART lassen sich als drei grundlegende Prinzipien formulieren: das allgemeine Relativitätsprinzip, das Äquivalenzprinzip und das Machsche Prinzip.Einstein sah diese selbst als Hauptgesichtspunkte der ART an: Albert Einstein: Prinzipielles zur allgemeinen Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 55, 1918, S. 241–244 (Faksimile, PDF).
Die Theorie folgt nicht zwingend aus diesen Prämissen, und zumindest beim Machschen Prinzip ist unklar, ob die ART es überhaupt erfüllt. Die drei Prinzipien erklären aber, welche physikalischen Probleme Einstein dazu veranlassten, die ART als neue Gravitationstheorie zu formulieren.
Die Beschreibung der Raumzeitkrümmung baut logisch auf dem Äquivalenzprinzip auf, deshalb wird sie in diesem Kapitel ebenfalls behandelt.
Relativitätsprinzip
In der allgemeinen Relativitätstheorie wird ein gegenüber der speziellen Relativitätstheorie erweitertes Relativitätsprinzip angenommen: Die Gesetze der Physik haben nicht nur in allen Inertialsystemen die gleiche Form, sondern auch in Bezug auf alle Koordinatensysteme. Dies gilt für alle Koordinatensysteme, die jedem Ereignis in Raum und Zeit vier Parameter zuweisen, wobei diese Parameter auf kleinen Raumzeitgebieten, die der speziellen Relativitätstheorie gehorchen, hinreichend differenzierbare Funktionen der dort lokal definierbaren kartesischen Koordinaten sind. Diese Forderung an das Koordinatensystem ist nötig, damit die Methoden der Differentialgeometrie für die gekrümmte Raumzeit überhaupt angewendet werden können. Eine gekrümmte Raumzeit ist dabei im Allgemeinen nicht mehr global mit einem kartesischen Koordinatensystem zu beschreiben. Das erweiterte Relativitätsprinzip wird auch allgemeine Koordinaten-Kovarianz genannt.