Die Malliavin-Ableitung (auch stochastische Ableitung genannt) ist ein Begriff aus dem Malliavin-Kalkül und bezeichnet die Ableitung einer Zufallsvariable bezüglich des Ergebnisparameters . Da Zufallsvariablen meistens fast sicher definiert sind und im Allgemeinen nicht die passende topologische Struktur besitzt, versagen klassische Ableitungsbegriffe wie zum Beispiel die Fréchet-Ableitung und es muss ein neuer Differenzierungsoperator unabhängig von der topologischen Struktur definiert werden.

Die Malliavin-Ableitung ist nach dem französischen Mathematiker Paul Malliavin benannt. Der adjungierte Operator der Malliavin-Ableitung ist der Divergenz-Operator, betrachtet man einen L2-Raum und weißes Rauschen, dann nennt man diesen Skorochod-Integral.

Malliavin-Ableitung Mit notieren wir den Raum der glatten Funktionen, deren partiellen Ableitungen polynomiales Wachstum besitzen, d. h. für alle und ein .

Sei ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum und ein isonormaler Gauß-Prozess auf einem separablen Hilbert-Raum und . Definiere die Klasse glatter Zufallsvariablen der Form

für und .

Die Malliavin-Ableitung einer Zufallsvariable ist die -wertige Zufallsvariable

Die Richtungsableitung nach ist dann definiert als

Erläuterungen Die Ableitung hängt nicht von der Darstellung von ab. Der Operator ist abschließbar von nach für und dieser eindeutige Abschluss wird wieder mit notiert. Wir definieren die -te Ableitung als die -wertige Zufallsvariable durch die Iteration . Die Domäne von in , d. h. die Vervollständigung von bezüglich der Malliavin-Sobolew-Norm definiert durch

notieren wir mit . Der Raum wird manchmal auch als Watanabe-Sobolew-Raum bezeichnet. Falls und mit , dann gilt und die Kettenregel

Für ist die Ableitung ein Prozess wegen der Identifikation und häufig als respektive allgemeiner für mit der Identifikation als notiert. Der adjungierte Operator von wird Divergenzoperator genannt und üblicherweise mit notiert. Im -Fall für weißem Rauschen nennt man diesen Skorochod-Integral. Durch Tensorierung können wir die Definition auf Hilbert-wertige Variablen erweitern und erhalten eine Abbildung nach . Es existiert auch eine Erweiterung zu einem Banach-wertigen Operator , wobei das Operator-Ideal der -radonifizierten Operatoren ist.

Beispiele Wir betrachten das kanonische Modell und und

mit weißem Rauschen

dann ist die Ableitung in Richtung gegeben durch

Partielle Integration Sei und , dann gilt

und daraus folgt

Literatur

Einzelnachweise

Kategorie:Stochastik