Eine Bernstein-Funktion ist eine nicht-negative glatte Funktion, deren Ableitungen ein alternierendes Vorzeichen haben, das heißt, sie sind komplett-monoton. Sie haben ihren Ursprung in der Potentialtheorie, werden aber auch in der Funktionalanalysis und der Stochastik untersucht. Sie tauchen insbesondere im Zusammenhang mit der Subordination von -Halbgruppen auf Banach-Räumen oder lokalkonvexen Räumen auf, da der infinitesimale Erzeuger einer subordinierten Gruppe durch solche Funktionen mit dem Erzeuger der ursprünglichen Halbgruppe beschrieben werden kann.
Durch die Lévy-Khinchin-Formel können Bernstein-Funktionen eindeutig durch ein Lévy-Tripel charakterisiert werden.
Die Bernstein-Funktionen sind nach Sergei Natanowitsch Bernstein benannt, sie sind aber auch unter vielen weiteren Namen bekannt, darunter Laplace-Exponenten oder negativ-definite Funktionen.
Bernstein-Funktion Eine Funktion ist eine Bernstein-Funktion, falls und für alle und gelten.
Lévy-Khinchin-Darstellung Folgendes ist äquivalent: ist eine Bernstein-Funktion. Es existiert ein eindeutiges Lévy-Tripel , d. h., es existieren zwei Konstanten und ein positives Radonmaß auf mit
so dass
für alle . Letztere Darstellung nennt man Lévy-Khinchin-Darstellung.
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis