In der Funktionalanalysis ist die Hilbert-Carleman-Determinante ein Determinanten-Begriff für Integraloperatoren auf Banach-Räumen, deren Kern nicht zwingend stetig ist. Die Fredholm-Determinante kann bei Integraloperatoren, deren Kern auf der Diagonale nicht stetig ist, im Allgemeinen nicht definiert werden. Wie diese ist auch die Hilbert-Carleman-Determinante für die Summe des Identitätsoperators mit einem Spurklasseoperators definiert, bei der Hilbert-Carleman-Determinante jedoch nur für Integraloperatoren.
Die Hilbert-Carleman-Determinante ist nach David Hilbert (1904) und Torsten Carleman (1921) benannt.
Hilbert-Carleman-Determinante Sei und der Lp-Raum über einem Maßraum und dem Lebesgue-Maß und . Sei
ein Integraloperator auf dem Banach-Raum und der Identitätsoperator, dann ist die Hilbert-Carleman-Determinante von definiert als , wobei .
Erläuterungen Die Matrix oben besitzt auf der Diagonalen nur Nullen und an den restlichen Positionen die entsprechenden Werte des Kerns. Im Gegensatz zur Fredholm-Determinante ist die Hilbert-Carleman-Determinante nicht multiplikativ. Falls ein Spurklasseoperator ist, dann gilt folgende Beziehung zur Fredholm-Determinant (notiert mit )
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis Kategorie:David Hilbert als Namensgeber