Der Airy-Prozess ist eine Familie von stationären stochastischen Prozessen, die als Grenzwerte in der Theorie der Zufallsmatrizen und der statistischen Physik auftauchen. Es wird vermutet, dass die Airy-Prozess die langzeit, groß-skalierte räumliche Fluktuation der Modelle in der (1+1) KPZ-Universalitätsklasse (das heißt eine 1 Zeit- und 1 Raum-Dimension) für viele Anfangsbedingungen beschreiben. Der Name der Prozesse leitet sich von der Airy-Funktion ab.
Der Airy2-Prozess wurde 2002 von den Mathematikern Michael Prähofer und Herbert Spohn eingeführt. Sie bewiesen, dass die Höhenfunktion eines zufälligen Wachstumsmodelles – dem PNG-Droplet – unter einer bestimmten Skalierung und Anfangsbedingung gegen den Airy2-Prozess konvergiert. Des Weiteren bewiesen sie, dass der Prozess stationär ist und fast sicher stetig Pfade hat.
Der Airy2-Prozess wird über seine endlichdimensionale Verteilung definiert, welche eine Fredholm-Determinante des erweiterten Airy-Kerns ist. Betrachtet man nur einen Zeitpunkt (die Einpunkt-Verteilung) so folgt der Airy2-Prozess der Tracy-Widom-Verteilung des GUE.
Der Airy-Prozess wurde von Tomohiro Sasomoto eingeführt und seine Einpunkt-Verteilung ist die Tracy-Widom-Verteilung des GOE. Es existiert auch ein Airystat-Prozess. Airy2-Prozess Seien in .
Der Airy2-Prozess ist der stochastische Prozess, so dass
wobei
und der erweiterte Airy-Kern als Matrixkern durch
definiert ist.
Erläuterungen Im Fall wird der erweiterte Airy-Kern zum Airy-Kern und es gilt
wobei die Tracy-Widom-Verteilung des gaußschen unitären Ensembles ist. Unter einer bestimmten Skalierung konvergiert somit der größte Eigenwert des GUEs zu dem Airy-Prozess in Verteilung. ist ein Spurklasseoperator auf mit Zählmaß auf und Lebesgue-Maß auf . Der Integralkern ist .
Einzelnachweise
Kategorie:Stochastischer Prozess