Potentialströmung

Die Strömung eines Fluids (Flüssigkeit oder Gas) ist eine Potentialströmung, wenn das Vektorfeld der Geschwindigkeiten mathematisch so geartet ist, dass es ein Potential besitzt. Das Potential kann man sich anschaulich als die Höhe in einer Reliefkarte vorstellen, wo dann die Richtung der größten Steigung in einem Punkt der dortigen Geschwindigkeit entspricht. Ein solches Potential ist in einem homogenen Fluid vorhanden, wenn die Strömung rotationsfrei (wirbel- bzw. vortizitätsfrei) ist und keine Zähigkeitskräfte (Reibungskräfte) auftreten oder diese vernachlässigbar klein sind. Jede aus der Ruhe heraus beginnende Strömung eines homogenen, viskositätsfreien Fluids besitzt ein solches Potential.Oertel (2012), S. 75.

Eine Potentialströmung ist der rotationsfreie Spezialfall der Strömung eines homogenen, viskositätsfreien Fluids, das durch die Euler’schen Gleichungen beschrieben wird; diese gelten auch für Strömungen mit Rotation (Wirbelströmung). Wenn jedoch bei Scherbewegungen die Zähigkeit berücksichtigt werden muss, wie z. B. in Grenzschichten oder im Zentrum eines Wirbels, so ist mit den Navier-Stokes-Gleichungen zu rechnen.

Potentialströmungen können als sehr gute Näherung von laminaren Strömungen bei niedrigen Reynolds-Zahlen verwendet werden, wenn die fluiddynamische Grenzschicht an den Rändern der Strömung keine wesentliche Rolle spielt. In der stationären Potentialströmung inkompressibler Fluide gilt die bernoullische Druckgleichung global, die technische Rohrströmungen gut beschreibt. Wegen ihrer einfachen Berechenbarkeit werden Potentialströmungen auch als Anfangsnäherung bei der iterativen Berechnung der Navier-Stokes-Gleichungen in der numerischen Strömungsmechanik verwendet.

Definition Eine Potentialströmung ist eine Strömung, die ein Geschwindigkeitsfeld besitzt, das vom Ort und von der Zeit t abhängt und sich aus dem Gradient „grad“ eines Geschwindigkeitspotentials berechnet:

Deshalb werden solche Strömungen Potentialströmungen genannt. Die linke Vektorgleichung ist die koordinatenfreie Version, während die rechten Gleichungen in kartesischen Koordinaten gelten.

Jedes Gradientenfeld ist rotationsfrei, weshalb Potentialströmungen immer rotationsfrei sind. Umgekehrt existiert nach dem Poincaré-Lemma immer dann ein Geschwindigkeitspotential, wenn die Strömung rotationsfrei ist.

Anwendungsbereiche und Limitierungen Potentialströmungen enthalten nicht alle Charakteristika von realen Strömungen. Die inkompressible Potentialströmung macht eine Reihe von falschen Voraussagen, wie beispielsweise das d’Alembert’sche Paradoxon, demgemäß von der Strömung auf einen Körper keine Kraft in Richtung der Strömung ausgeübt wird. Alle Phänomene, die eine hydrodynamische Grenzschicht oder turbulente Strömung nebst Dissipation von Energie beinhalten, wie z. B. Strömungsabrisse, können mit Potentialströmungen nicht abgebildet werden.

Nichtsdestotrotz ist das Verständnis von Potentialströmungen in vielen Bereichen der Strömungsmechanik hilfreich. So können für nicht zu komplizierte Geometrien analytische Lösungen ihrer Umströmung berechnet werden und auch die von der Strömung geleistete Auftriebskraft angegeben werden. So wird ein tieferes Verständnis der Strömung erreicht.

Potentialströmungen finden viele Anwendungen in der Auslegung von Flugzeugen. Wie eingangs erwähnt können Potentialströmungen als sehr gute Näherung von laminaren Strömungen bei niedrigen Reynolds-Zahlen verwendet werden, wenn die hydrodynamische Grenzschicht an den Rändern der Strömung keine wesentliche Rolle spielt. Eine Technik in der numerischen Strömungsmechanik koppelt eine viskose Grenzschichtströmung an eine Potentialströmung außerhalb der Grenzschicht. In einer Potentialströmung kann jede Stromlinie durch eine Wand ersetzt werden, ohne die Strömung dadurch zu verändern, eine Technik, die im Flugzeugdesign angewendet wird.

Bestimmungsgleichungen für die Strömung Nicht jedes Geschwindigkeitspotential repräsentiert eine physikalisch plausible Strömung. Damit das Geschwindigkeitspotential unter den getroffenen Annahmen im Einklang mit den physikalischen Gesetzen ist, muss es der Bilanzgleichung für den Impuls in Form der Euler’schen Gleichungen gehorchen und die Massenbilanz erfüllen.

Bilanzgleichungen Die Impulsbilanz in Form der Euler’schen Gleichungen lautet

und die Massenbilanz

Darin ist ρ die Dichte und der aufgesetzte Punkt die substantielle Zeitableitung, „div“ die Divergenz eines Vektorfeldes, p der Druck und ein Beschleunigungsfeld (z. B. Schwerebeschleunigung). Dieses System aus vier Gleichungen mit fünf Unbekannten (drei Geschwindigkeiten, Druck und Dichte) wird durch eine Zustandsgleichung geschlossen, die die Dichte als Funktion des Drucks darstellt.

Einsetzen des Potentials in die Euler’schen Gleichungen liefert mit der Graßmann-Entwicklung:

weil die Rotation eines Gradientenfeldes verschwindet. Die Massenbilanz formt sich mit dem Geschwindigkeitspotential und dem Laplace-Operator um zu:

Nun handelt es sich um ein System aus vier Gleichungen mit drei Unbekannten (Potential, Druck und Dichte), das nur lösbar ist, wenn die Differenz die Integrabilitätsbedingung erfüllt. Dies ist in barotropen Fluiden in einem konservativen Schwerefeld der Fall.

Barotropes Fluid in konservativem Schwerefeld In einem barotropen Fluid ist die Dichte nur eine Funktion des Drucks. Dann kann die Integration der Euler-Gleichungen vorab erfolgen, was die Berechnung wesentlich vereinfacht. Barotrope Strömungen liegen dann vor, wenn das Temperaturfeld homogen ist oder wenn im technisch besonders wichtigen Fall die Strömung homentrop ist.Spurk (2010), S. 118.

In einem barotropen Fluid gibt es eine Druckfunktion P mit der Eigenschaft

In einem inkompressiblen Fluid ist die Dichte konstant und P = p/ρ. Einsetzen der Druckfunktion in die Euler-Gleichung erlaubt es, den Gradientenoperator heraus zu ziehen:

Damit diese Gleichung erfüllt werden kann, muss das Beschleunigungsfeld der Integrabilitätsbedingung entsprechen. Dann gibt es nach dem Poincaré-Lemma ein Potential V mit der Eigenschaft und die obige Gleichung führt auf ein Gradientenfeld

das überall verschwindet, weshalb der Term in den großen Klammern ortsunabhängig ist:

Die Integrationskonstante C könnte noch von der Zeit abhängen aber diese Zeitabhängigkeit kann dem Potential zugeschlagen werden, ohne dass sich dessen physikalische Bedeutung ändern würdeGreve (2003), S. 147..

Nun handelt es sich um ein geschlossenes System aus drei Gleichungen (inklusive ρ=ρ(p) und der Massenbilanz) mit drei Unbekannten Potential, Dichte und Druck.

Stationäre Strömung In einer stationären Potentialströmung ohne Beschleunigungsfeld gilt:

mit den Machzahlen

und der lokalen Schallgeschwindigkeit c. Die Strömungsgeschwindigkeit ergibt sich aus dem Gradient des Geschwindigkeitspotentials. Diese Gleichungen sind bei sub-, trans- und supersonischer Strömung anwendbar, so lange ihre Rotationsfreiheit gegeben ist.

Beweis In einer stationären Strömung ohne Beschleunigungsfeld lautet die Eulergleichung und die Massenbilanz:

Hier tritt die Schallgeschwindigkeit

auf, die die Wurzel aus der Ableitung des Drucks nach der Dichte bei konstanter Entropie S ist. Skalare Multiplikation der Euler-Gleichung mit der Geschwindigkeit und Einsetzen der Massenbilanz liefert:

.

Division durch ergibt mit dem Geschwindigkeitspotential und der Machzahl :

Im sub- oder supersonischen Bereich (aber nicht im transsonischen) kann bei kleinen Anströmwinkeln von schlanken Körpern eine weitere Annahme getroffen werden: Das Geschwindigkeitspotential wird in eine Parallelströmung und ein kleines Störungsfeld aufgeteilt: . In diesem Fall kann die linearisierte Potentialgleichung – eine Näherung der kompletten Gleichung – benutzt werden:

Schallwellen Schallwellen mit geringer Amplitude können mit dem folgenden Potentialströmungsmodell approximiert werdenHorace Lamb: Hydrodynamics. 6th edition. Cambridge University Press, Cambridge 1993, ISBN 0-521-05515-6, S. 492–495.:

Darin ist die mittlere Schallgeschwindigkeit im homogenen Fluid. Diese Gleichung ist eine Wellengleichung, die für das Geschwindigkeitspotential Φ und gleichfalls für den Druck sowie die Dichte gilt.

Randbedingungen Die Dirichlet-Randbedingungen geben den Wert des Geschwindigkeitspotentials auf einer Fläche vor, woraus sich die Tangentialgeschwindigkeit des Fluids auf der Fläche ergibt. Mit Neumann-Randbedingungen werden die Ableitungen des Potentials senkrecht zu Flächen festgelegt, was hier der Vorgabe von Geschwindigkeitskomponenten senkrecht zur Fläche entspricht. Ansonsten gilt das bei den Euler’schen Gleichungen zu den Randbedingungen Gesagte.

Zirkulation In einem stationären Strömungsgebiet, in dem die Bernoulli-Gleichung auf allen Stromlinien denselben Wert hat, ist die Zirkulation im Inneren des Gebiets gleich Null und die Strömung eine Potentialströmung. Trotzdem können bei einer aus der Ruhe heraus entstehenden Bewegung einer homogenen reibungslosen Flüssigkeit Wirbel entstehen. Denn alle im Ruhezustand im Innern der Flüssigkeit gezogenen (materiellen) Linien weichen bei einsetzender Strömung einer sich bildenden Trennfläche aus und schneiden diese niemals. Der Kelvin’sche Wirbelsatz bezieht sich auf materielle Linien und sagt demnach über die Beziehungen der Gebiete auf beiden Seiten der Trennfläche nichts aus. Deshalb können aus der Ruhe heraus an Kanten Trennflächen und Wirbel ohne Widerspruch zum Wirbelstatz entstehen.Oertel (2012), S. 75 f.

Da auch der #Potentialwirbel eine Potentialströmung ist, eine von null verschiedene Zirkulation aufweist und inkompressible Potentialströmungen superponierbar sind, kann mit einem Potentialwirbel in oder außerhalb des Strömungsgebietes eine Zirkulation eingebracht werden. Allgemeiner kann ein divergenzfreier Geschwindigkeitsanteil superponiert werden, der sich aus der Rotation eines Vektorfeldes ergibt, dessen Berechnung die Kenntnis der Rotationsverteilung erfordert und die Lösung zusätzlich erschwert.Spurk (2010), S. 353.

Potentialströmung eines inkompressiblen Fluids Die Annahme der Inkompressibilität ist für Flüssigkeiten bei moderaten Drücken und für Gasströmungen weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit eine häufig sinnvolle Näherung. In diesem Fall entkoppeln sich die Bestimmungsgleichungen für die Geschwindigkeit und den Druck: Aus der Laplace-Gleichung bestimmt sich mit den Randbedingungen das Potential und aus den Euler-Gleichungen, die sich auf die Bernoulli’sche Druckgleichung reduzieren, der Druck.

Bestimmungsgleichungen Bei Inkompressibilität ist das Geschwindigkeitsfeld divergenzfrei

weswegen das Potential die Laplace-Gleichung erfüllt. Aufgrund der Massenbilanz ist die Dichte zumindest zeitlich konstant; bei Inkompressibilität ist sie auch räumlich konstant. Bei konstanter Dichte vereinfacht sich die bei den barotropen Fluiden eingeführte Druckfunktion P zu P=p/ρ. Multiplikation der Euler-Gleichungen mit der Dichte liefert dann:

In einer stationären Strömung entfällt der erste Term und es verbleibt die Bernoulli’sche Druckgleichung, die hier im gesamten Strömungsgebiet gilt. Die Konstante Energie E ist die Summe aus kinetischer, innerer (Druck p) und äußerer Energie (Schwerefeld ρV) eines Fluidpartikels und diese Gesamtenergie ist für alle Partikel in der stationären Strömung gleich.

Analogon der Wärmeleitung

mini | Vergleich der über Wärmeleitung berechneten Strömung (farbig und schwarz) mit den analytischen Stromlinien (weiß) mini | Das Betragsquadrat des Wärmestromes entspricht der Druckverteilung

Eine Potentialströmung kann mit Finite-Elemente-Programmen berechnet werden, in denen die Wärmeleitungsgleichung implementiert ist, was in vielen gängigen Programmen der Fall ist. Die stationäre Wärmeleitung in einem homogenen Festkörper ohne innere Wärmequellen gehorcht der Laplace-Gleichung