In der Mathematik, speziell in der Teichmüller-Theorie bezeichnet man als Theta-Operator einen Operator, dessen Kontraktionseigenschaften eine wesentliche Rolle im Beweis der Geometrisierung von Haken-Mannigfaltigkeiten spielen.
Definition
Sei eine Überlagerung Riemannscher Flächen. Seien die Banach-Räume der holomorphen quadratischen Differentiale und sei . Für jede eingebettete Kreisscheibe ist die Überlagerung trivial, für jede Zusammenhangskomponente hat man also einen Schnitt . In einer holomorphen Karte für ist und die Reihe ist absolut konvergent auf kompakten Teilmengen von , definiert dort also eine holomorphe Funktion, welche unter Kartenwechseln wie ein holomorphes quadratisches Differential transformiert, also ein Element aus definiert. Der so definierte Operator
ist der zu der Überlagerung assoziierte Theta-Operator.
Norm des Theta-Operators
Es gilt offensichtlich für die Operatornorm des Theta-Operators. McMullenC. McMullen: Iteration on Teichmüller space. Invent. Math. 99, No. 2, 425–454 (1990). bewies die strikte Ungleichung . Verbesserte Abschätzungen der Operatornorm wurden von Barrett-DillerD. E. Barrett, J. Diller: Contraction properties of the Poincaré series operator. Mich. Math. J. 43, No. 3, 519–538 (1996). und Cremaschi-Dello SchiavoT. Cremaschi, L. Dello Schiavo: Effective contraction of skinning maps. Proc. Am. Math. Soc., Ser. B 9, 445–459 (2022). bewiesen.
Anwendung
Aus McMullens Ungleichung folgt, dass die Skinning-Abbildung einer geometrisch endlichen hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeit eine Kontraktion ist und damit für jeden Diffeomorphismus nach dem Fixpunktsatz von Banach einen Fixpunkt im Teichmüller-Raum hat. Dieser erlaubt die Konstruktion einer hyperbolische Struktur auf der durch Verkleben mittels entstandenen 3-Mannigfaltigkeit und damit einen Induktionsbeweis für die Hyperbolisierung von Haken-MannigfaltigkeitenW. P. Thurston: Hyperbolic structures on 3-manifolds. I: Deformation of acylindrical manifolds. Ann. Math. (2) 124, 203–246 (1986)., für den William Thurston 1982 die Fields-Medaille erhielt.
Literatur
J.-P. Otal: Thurston’s hyperbolization of Haken manifolds. Hsiung, C. C. (ed.) et al., Surveys in differential geometry. Vol. III. A supplement to the Journal of Differential Geometry. Lectures on geometry and topology in honor of the 80th birthday of Chuan-Chih Hsiung, Harvard University, Cambridge, MA, USA, May 3-5, 1996. Boston, MA: International Press. 77-194 (1998).
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionentheorie