Nichtabelsche Hodge-Korrespondenz (auch Corlette-Simpson-Korrespondenz) ist in den mathematischen Teilgebieten der komplexen Geometrie und Eichtheorie eine Korrespondenz zwischen Higgs-Bündeln und Darstellungen der Fundamentalgruppe einer projektiven komplexen algebraischen Varietät oder einer kompakten Kähler-Mannigfaltigkeit. Benannt ist die Corlette-Simpson-Korrespondenz nach Kevin Corlette und Carlos Simpson, die an dieser in den späten 1980ern und frühen 1990ern gearbeitet haben.
Die nichtabelsche Hodge-Korrespondenz auf kompakten Kähler-Mannigfaltigkeiten ist eine Verallgemeinerung der Kobayashi-Hitchin-Korrespondenz über die Korrespondenz zwischen stabilen Vektorbündeln über einer komplexen Mannigfaltigkeit und hermiteschen Yang-Mills-Zusammenhängen. Die nichtabelsche Hodge-Korrespondenz ist dadurch ebenfalls eine Verallgemeinerung des Satzes von Narasimhan-Seshadri über die Korrespondenz zwischen stabilen Vektorbündeln über einer kompakten Riemannschen Fläche und irreduziblen unitären Darstellungen dessen Fundamentalgruppe. Konkret ergibt sich der Satz von Narasimhan-Seshadri aus der nichtabelschen Hodge-Korrespondenz durch ein verschwindendes Higgs-Feld.
Hintergrund
Sei eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit mit universeller Überlagerung . Zu einer Darstellung hat man ein assoziiertes Vektorbündel mit einem flachen Zusammenhang .
Für eine hermitesche Metrik auf und eine Zerlegung in Operatoren vom Typ (1,0) und (0,1) gibt es einen eindeutigen Operator vom Typ (1,0), so dass die Metrik erhält. Die Krümmung von ist definiert als . Die Metrik heißt harmonisch wenn . Nach einem Satz von Donaldson und Corlette ist eine Darstellung genau dann halbeinfach ist, wenn eine harmonische Metrik besitzt.
Wenn ist, dann ist ein Higgs-Bündel mit Higgs-Feld . Nach einem Satz von Corlette gilt für harmonische Metriken , so dass sie also ein Higgs-Bündel geben.
Nichtabelsche Hodge-Korrespondenz
Die nichtabelsche Hodge-Korrespondenz besagt, dass ein Higgs-Bündel genau dann von einer irreduziblen bzw. halbeinfachen Darstellung kommt, wenn es stabil bzw. polystabil ist.
Dies folgt aus von Hitchin (für Bündel vom Rang 2) und Simpson (im allgemeinen Fall) bewiesenen Sätzen, nach denen ein Higgs-Bündel genau dann eine Hermitesche Yang-Mills-Metrik besitzt, wenn es polystabil ist diese Hermitesche Yang-Mills-Metrik harmonisch ist und deshalb genau dann von einer halbeinfachen Darstellung kommt, wenn die Chern-Klassen und verschwinden ein Higgs-Bündel genau dann einen irreduziblen Yang-Mills-Zusammenhang besitzt (und deshalb von einer irreduziblen Darstellung kommt), wenn es stabil ist.
Allgemeine Lie-Gruppen
Sei eine kompakte Riemannsche Fläche. Sei eine zusammenhängende halbeinfache reelle Lie-Gruppe mit maximal kompakter Untergruppe . Für bezeichnen wir mit den Modulraum der reduktiven Darstellungen mit und mit den Modulraum der polystabilen -Higgs-Bündel mit topologischer Invariante .
Die nichtabelsche Hodge-Korrespondenz ist ein Homöomorphismus .
Literatur
S. Donaldson: Twisted harmonic maps and the self-duality equations. Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser. 55, 127–131 (1987). N. Hitchin: The self-duality equations on a Riemann surface. Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser. 55, 59–126 (1987). K. Corlette: Flat G-bundles with canonical metrics. J. Differ. Geom. 28, No. 3, 361–382 (1988). C. Simpson: Higgs bundles and local systems. Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. 75, 5–95 (1992).
Kategorie:Komplexe Geometrie Kategorie:Darstellungstheorie von Gruppen