mini|hochkant=1.5|Lösungen der Pellschen Gleichung für : Als diophantische Gleichung sind nur ganzzahlige Werte (Schnittpunkte von Gitterlinien) Lösungen. Davon sind hier mit (±1, 0) und (±3, ±2) die sechs kleinsten zu sehen. Es gibt unendlich viele weitere wie (±17, ±12), (±99, ±70), (±577, ±408), (±3363, ±2378), (±19601, ±13860), ...
Als Pellsche Gleichung (nach John Pell, 1611–1685) bezeichnet man eine diophantische Gleichung der Form
mit positiv ganzzahligem .
Ist eine Quadratzahl einer natürlichen Zahl , so besitzt die Gleichung offensichtlich nur die beiden trivialen Lösungen . Andernfalls gibt es unendlich viele Lösungen, die man mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung von bestimmen kann. Die verwandten Gleichungen bezeichnet man oft als negative Pellsche Gleichungen und mit beliebigem ganzzahligen als verallgemeinerte Pellsche Gleichungen.
Die Gleichung wird John Pell fälschlicherweise zugeschrieben. Korrekter wäre die Bezeichnung Fermatsche Gleichung.Siehe Artikel von H. W. Lenstra Jr.So auch Dickson, History of the theory of numbers, Band 2, S. 341 (Kapitel 12 zur Geschichte der Pellschen Gleichung)
Die Gleichung war in Indien schon Brahmagupta im 7. und Bhaskara II. im 12. Jahrhundert bekannt. In Europa tauchte die Gleichung erst im 17. Jahrhundert auf. Die Lösung dieser Gleichung war als Problem von Pierre de Fermat in einem Brief an Bernard Frénicle de Bessy gestellt worden und 1657 als Problem veröffentlicht. Pell befasste sich nie mit der Lösung der Gleichung. Brouncker fand einige Lösungen (veröffentlicht im Commercium epistolicum of John Wallis 1658). Leonhard Euler stieß auf die Lösung von Brouncker in der lateinischen Ausgabe des Treatise of Algebra von John Wallis und benannte die Gleichung fälschlich nach Pell.Noel Malcolm, Jacqueline Steadall: John Pell in his correspondence with Sir Charles Cavendish, Oxford UP, 2005, S. 320André Weil, Number theory - An approach through history from Hammurapi to Legendre, Birkhäuser 1984, S. 174 Euler veröffentlichte zuerst 1732 über die Pell-Gleichung und fand später die Verbindung mit Kettenbrüchen (veröffentlicht 1765), die im Grunde schon hinter der Lösung von Brouncker steckt. Joseph-Louis Lagrange befasste sich nach Euler ausführlich mit der Gleichung und gab als Erster einen Beweis, dass es für jedes eine Lösung gibt, wobei Fermat möglicherweise auch einen Beweis hatte.Dickson, History of the theory of numbers, Band 2, Carnegie Institution 1920, S. 353. Er benutzte seine Methode des unendlichen Abstiegs
Algebraische Zahlentheorie Das Auffinden aller Lösungen ist für spezielle äquivalent dazu, die Einheiten des Ganzheitsrings des reellquadratischen Zahlkörpers zu finden. Nach dem Dirichletschen Einheitensatz hat die Einheitengruppe den Rang 1, d. h., es gibt eine Fundamentaleinheit (oder auch Grundeinheit) mit der sich alle Lösungen als darstellen lassen.
Beispielsweise ist für die Einheit eine Fundamentaleinheit und man kann die anderen Lösungen
aus ihr erzeugen.
Lösungen Wichtige Vorbemerkung
Da und ist, treten Lösungen der Gleichung
immer als symmetrisch zum Koordinatenursprung liegende Lösungsquadrupel und auf, die im Falle von und/oder auch Mehrfachlösungen sein können. Siehe dazu die Grafik am Anfang des Artikels: 6 ganzzahlige Lösungen der Pellschen Gleichung für
Dies wird im folgenden Text aus Gründen der Kompaktheit der Darstellung bis auf wenige Ausnahmen nicht weiter erwähnt und es werden nur die Lösungen mit betrachtet.
Existenz und Eigenschaften der Lösungen
Es sind folgende Eigenschaften der Lösungen erkennbar: Für alle ist existiert immer die triviale Lösung . Für gibt sind alle Paare weitere triviale Lösungen. Für mit existieren keine weiteren Lösungen. Das Verhältnis konvergiert gegen . Der Grenzwert des Wachstumskoeffizienten liegt knapp unter einer ganzen Zahl. Der „Fehler“ liegt auffällig in der Nähe von . Die Summe ergibt eine ganze, gerade Zahl. Diese Eigenschaften und „auffällige“ Nachkommastellen weisen darauf hin, dass sich in der Form darstellen lässt.
n Anzahl derLösungen0 ≤ y < 1014 Trivial-Lösung weitere Lösungen (xi, yi) für d = 1 lim xi / yi lim xi+1 / xi= q q + 1/q a b 0 1014 (1, 0) (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (1, 10), (1, 11), (1, 12), (1,13), ... 0,000000 1,000000 2 1 0 1 1 (1, 0) keine 2 19 (1, 0) (3, 2), (17, 12), (99, 70), (577, 408), (3363, 2378), (19601, 13860), (114243, 80782), ... 1,414214 5,828427 6 3 2 3 26 (1, 0) (2, 1), (7, 4), (26, 15), (97, 56), (362, 209), (1351, 780), (5042, 2911), (18817, 10864), ... 1,732051 3,732051 4 2 1 4 1 (1, 0) keine 5 12 (1, 0) (9, 4), (161, 72), (2889, 1292), (51841, 23184), (930249, 416020), (16692641, 7465176), ... 2,236068 17,944272 18 9 4 6 15 (1, 0) (5, 2), (49, 20), (485, 198), (4801, 1960), (47525, 19402), (470449, 192060), ... 2,449490 9,898979 10 5 2 7 13 (1, 0) (8, 3), (127, 48), (2024, 765), (32257, 12192), (514088, 194307), (8193151, 3096720), ... 2,645751 15,937254 16 8 3 8 20 (1, 0) (3, 1), (17, 6), (99, 35), (577, 204), (3363, 1189), (19601, 6930), (114243, 40391), ... 2,828427 5,828427 6 3 1 9 1 (1, 0) keine 10 10 (1, 0) (19, 6), (721, 228), (27379, 8658), (1039681, 328776), (39480499, 12484830), ... 3,162278 37,973666 38 19 6 11 12 (1, 0) (10, 3), (199, 60), (3970, 1197), (79201, 23880), (1580050, 476403), (31521799, 9504180), ... 3,316625 19,949874 20 10 3 12 13 (1, 0) (7, 2), (97, 28), (1351, 390), (18817, 5432), (262087, 75658), (3650401, 1053780), ... 3,464102 13,928203 14 7 2 13 5 (1, 0) (649, 180), (842401, 233640), (1093435849, 303264540), (1419278889601, 393637139280) 3,605551 1297,999230 1298 649 180 14 11 (1, 0) (15, 4), (449, 120), (13455, 3596), (403201, 107760), (12082575, 3229204), ... 3,741657 29,966630 30 15 4 15 17 (1, 0) (4, 1), (31, 8), (244, 63), (1921, 496), (15124, 3905), (119071, 30744), (937444, 242047), ... 3,872983 7,872983 8 4 1 16 1 (1, 0) keine 17 9 (1, 0) (33, 8), (2177, 528), (143649, 34840), (9478657, 2298912), (625447713, 151693352), ... 4,123106 65,984845 66 33 8 18 10 (1, 0) (17, 4), (577, 136), (19601, 4620), (665857, 156944), (22619537, 5331476), ... 4,242641 33,970563 34 17 4
Lösung mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung
Die Kettenbruchentwicklung einer quadratisch irrationalen Zahl ist unendlich und periodisch. hat die Kettenbruchentwicklung (siehe Periodische Kettenbrüche). Sei
mit ganzzahligen , dann ist die kleinste Lösung der verallgemeinerten Pellschen Gleichung . Die anderen Lösungen lassen sich wie erwähnt daraus konstruieren. Auch alle weiteren
mit lösen .
Die negative Pellsche Gleichung hat genau dann eine Serie von Lösungen, wenn die Kettenbruchentwicklung von eine ungerade Periode hat. Das sind keinesfalls Zahlen der Form , deren Kettenbruchentwicklung lautet (offensichtlich Periode 2). Das sind keinesfalls Zahlen der Form , deren Kettenbruchentwicklung lautet (offensichtlich keine bzw. Periode 0). Das sind u. A. alle Zahlen der Form , deren Kettenbruchentwicklung lautet (offensichtlich Periode 1). Das sind weiterhin die Zahlen genau die eine Lösung , wenn ist, da nur die Differenz der Quadratzahlen und die Differenz ergibt. ∎
Das ist für 1, 2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 37, 41, 50, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97, ... der Fall (siehe , außer die 1).
Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung (z. B. hat keine Lösung) dafür ist, dass die Summe von zwei Quadratzahlen ist.Erick Knight, Stanley Yao Xiao, University of Toronto: The Negative Pell Equation
Beispiel für die Lösung mittels Kettenbruchentwicklung
Wir wollen die Gleichung
lösen, d. h. für .
All erstes benötigen wir die Kettenbruchentwicklung für . Diese berechnet sich durch rekursives Anwenden folgender Schritte: Berechnung von : Dies ist der Wert, den wir zur genauen Darstellung von durch einen hier abgebrochenen Kettenbruch benötigen würden. Im ersten Schritt ist der Ausgangsterm , in den folgenden ist der Restterm . Der Nenner der Form wird durch Multiplikation mit der konjugierten Wurzel ganzzahlig gemacht, anschließend wird, wenn möglich, gekürzt. Berechnung von : Dies ist der ganzzahlige Teil (Vorkommastellen) von . Durch Einsetzen von für kann man das Abrunden von unter Umgehung von irrationalen Zahlen durchführen. Berechnung von : Dies ist der Rest (Nachkommastellen) von und berechnet sich zu . Erhalten wir hierbei ein schon mal vorgekommenes , können wir die Entwicklung hier abbrechen, die Kettenbruchentwicklung ist ab hier periodisch. Die Kettenbruchentwicklung entsteht aus den Werten für und lautet . Die Rechnung verläuft dann so:
Da ist, wiederholen sich ab hier die Werte periodisch und wir können die Entwicklung abbrechen.
Die Kettenbruchentwicklung für ist daher
und hat die Periode .
Die Näherungsbrüche der Kettenbruchentwicklung erhalten wir durch Einsetzen der Kettenbruchentwicklung in die Bildungsvorschrift. Die Näherungsbrüche bei Abbruch nach Stellen lauten:
Nach Umwandlung in gewöhnliche Brüche interessieren jetzt die Werte nach Abbruch nach einem ganzzahligen Vielfachen von :
und findet an den Stellen , , und
| || || || || || || die Triviallösung von |- | || || || || || || die erste Lösung der negativen Pellschen Gleichung |- | || || || || || || die erste (nicht triviale) Lösung von |- | || || || || || || die zweite Lösung der negativen Pellschen Gleichung von
Weiter stellt man fest, dass für jedes Element der abgebrochenen Kettenbruchentwicklung der Länge eine Lösung einer Pellschen Gleichung mit rechter Seite ist.
Die Näherungsbrüche dazwischen stellen einige (aber nicht alle!) Lösungen der verallgemeinerten Pellschen Gleichung mit rechter Seite und dar.
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Bruchbzw. (x, y) Lösungfür d = (x₀, y₀)−4 (x₀, y₀)+3 (x₀, y₀)−3 (x₀, y₀)+4 (x₀, y₀)−1 (x₁, y₁)+4 (x₁, y₁)−3 (x₁, y₁)+3 (x₂, y₂)−4 (x₀, y₀)+1 (x₃, y₃)−4 (x₂, y₂)+3 (x₃, y₃)−3 (x₄, y₄)+4 (x₁, y₁)−1 (x₅, y₅)+4 (x₄, y₄)−3
Generieren weiterer Lösungen Ist die kleinste nichttriviale Lösung bekannt, so lassen sich daraus alle weiteren nichttrivialen Lösungen bestimmen.Keith Conrad, University of Connecticut: Pell’s Equation
Die dahinterliegende Bildungsvorschrift (zum Beweis) lautet: .
Zum einen besteht, da die rechte Seite eine Potenz ist, die Möglichkeit einer rekursiven Bildungsvorschrift über , was
ergibt und sich durch Koeffizientenvergleich in die zwei Gleichungen aufspalten lässt:
auch darstellbar als Matrizenmultiplikation .
Die Lösungen können auch explizit mit folgenden Formeln berechnet werden:Wolfram MathWorld: Pell Equation
Hierbei wird für die Separation der Fundamentaleinheit folgendes ausgenutzt: Der erste Term in der großen Klammer sammelt alle ganzzahligen Koeffizienten zweimal auf, die Vielfachen von kürzen sich raus, der zweite Term in der großen Klammer sammelt alle Vielfachen von zweimal auf, die ganzzahligen kürzen sich raus. ergibt wieder :
Beispiele Die Pellsche Gleichung für hat die kleinste nichttriviale Lösung . Die sich ergebende Transformationsmatrix lautet .
Die nächsten fünf Lösungen berechnen sich dann wie folgt:
Man erhält die Folge aller nichttrivialen Lösungen.
Startet man fälschlicherweise mit der (allgemeiner: einer) trivialen Lösung , ist die Transformationsmatrix die Einheitsmatrix
und liefert keine neuen Lösungen.
Startet man hingegen fälschlicherweise mit der zweiten nichttrivialen Lösung, die hier mal mit bezeichnet wird, erhält man als Matrix:
Die nächsten zwei Lösungen berechnen sich dann wie folgt:
Startet man mit der zweiten Lösung , erhält man nur jede zweite Lösung
Das Berechnen weiterer Lösungen als Grafik dargestellt:
Startwert Matrix
Spezialfälle Für spezielle lässt sich die kleinste Lösung von auf einfache Weise explizit bestimmen. Im Folgenden sei eine ganze Zahl mit .
Außerdem ergeben sich für folgende die kleinsten Lösungen
Für erhält man (bis auf den zweiten Fall) die oberen Formeln.
Tabelle der Fundamentaleinheiten