Der Satz von Erdős-Wintner ist ein wichtiger Satz aus der stochastischen Zahlentheorie. Der Satz nennt Bedingungen, unter denen die Verteilung einer additiven Funktion gegen einen Grenzwert konvergiert.
Der Satz ist nach Paul Erdős und Aurel Wintner benannt. Es handelt sich um eine Variante des Dreireihensatzes von Kolmogorow.
Einführung in die stochastische Zahlentheorie Als additive Funktion bezeichnen wir eine Funktion mit der Eigenschaft
für alle teilerfremden positiven ganzen Zahlen .
Verteilungen und ihr Grenzwert
In der stochastischen Zahlentheorie betrachtet man zahlentheoretische Funktionen oder als Zufallsvariablen. Dann lässt sich eine diskrete Verteilung auf definieren mit der Verteilungsfunktion
für , wobei die Kardinalität bezeichnet.
Wir sind nun an Bedingungen interessiert, unter denen in Verteilung konvergiert (bzw. schwach konvergiert, d. h.
wobei die Menge der Punkte bezeichnet, auf der die Funktion stetig ist).
Satz von Erdős-Wintner Sei die Menge der Primzahlen.
Eine additive reelle Funktion hat genau dann eine Grenzwertverteilung, wenn es ein gibt, so dass die drei Reihen a) b) c) konvergieren, wobei hier andeuten soll, dass die Reihen über alle Primzahlen zu bilden sind.
Erläuterungen ist hier eine positive reelle Zahl und die Summen laufen über Mengen von Primzahlen. Falls die drei Reihen für ein konvergieren, so konvergieren sie für alle und es kann deshalb auch gewählt werden.
Im Falle der Konvergenz lautet die charakteristische Funktion der Grenzwertverteilung
wobei hier auch wieder bedeutet, dass das unendliche Produkt über alle Primzahlen zu bilden ist.
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Analytische Zahlentheorie Erdos-Wintner, Satz von Kategorie:Paul Erdős