Die Hartman-Watson-Verteilung ist eine absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist nach Philip Hartman und Geoffrey S. Watson benannt. Diese stießen auf die Verteilung bei der Untersuchung der Beziehung zwischen der brownschen Bewegung auf der -Sphäre und der von-Mises-Verteilung. Wichtige Arbeiten, inklusive eine explizite Form der Dichte in Integraldarstellung, stammen von Marc Yor.

Die Verteilung findet Anwendung in der Finanzmathematik bei der Berechnung von Preisen von asiatischen Optionen mit dem Black-Scholes-Modell.

Hartman-Watson-Verteilung Definition Die Hartman-Watson-Verteilungen sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen , die folgende Beziehung zur Laplace-Transformation erfüllen , wobei die modifizierte Bessel-Funktion erster Gattung bezeichnet und wie folgt definiert ist

Explizite Darstellung Die unnormierte Dichte der Hartman-Watson-Verteilung ist

für .

Sie erfüllt die Gleichung

Die Dichte der Hartman-Watson-Verteilung ist für definiert und gegeben durch

oder ausgeschrieben .

Ein Satz von Yor über brownsche Exponentialfunktionale Von Yor stammt nachfolgende Aussage über den Zusammenhang zwischen der unnormierten Hartman-Watson-Dichte und brownschen Exponentialfunktionalen.

Sei eine eindimensionale brownsche Bewegung mit Drift , die in beginnt, und sei durch das Funktional

definiert. Dann ist die Verteilung von für durch

gegeben, wobei und . ist eine andere Schreibweise für ein Wahrscheinlichkeitsmaß .

Einzelnachweise

Bemerkungen

Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:Optionsgeschäft