Die Ungleichungen von Clarkson () gehören zu einer ganzen Reihe von Resultaten, die von dem Mathematiker James Andrew Clarkson auf dem mathematischen Gebiet der Analysis geliefert wurden. Die Ungleichungen behandeln Abschätzungen zu Lp-Normen.Edwin Hewitt, Karl Stromberg: Real and Abstract Analysis. 1975, S. 188 ff., 225–227Dirk Werner: Funktionalanalysis. 2007, S. 197
Darstellung der Ungleichungen Es handelt sich um zwei Ungleichungen. Im Einzelnen hat man dabei folgende Aussage: Gegeben seien ein Maßraum sowie reelle Zahlen mit .
Weiter gegeben seien der zugehörige Lp-Raum und darin zwei komplexwertige Funktionen .
Unter diesen Bedingungen gelten
einerseits im Falle die UngleichungHewitt/Stromberg, op. cit., S. 225
und
andererseits im Falle die UngleichungHewitt/Stromberg, op. cit., S. 227
.
Hinweise Bei Hirzebruch/Scharlau werden die beiden Clarkson’schen Ungleichungen – in gleichwertiger Darstellung! – auch als Parallelogramm–Ungleichungen bezeichnet. Sie entstammen der Arbeit von Clarkson aus dem Jahr 1936 (s. u.). Diese Bezeichnung wird nachvollziehbar, wenn man in Rechnung stellt, dass die erste Clarkson’sche Ungleichung für den Fall (s. o.) gleichwertig ist mit der Ungleichung , während die zweite Clarkson’sche Ungleichung für den Fall (s. o.) gleichwertig ist mit der Ungleichung .Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis. 1971, S. 75, 174 Den Lehrbüchern von Hirzebruch/Scharlau und Dirk Werner ist zu entnehmen, dass Clarkson die beiden Ungleichungen dem Beweis seines Satzes von Clarkson zugrunde gelegt hat. Es gilt . In den Beweis der zweiten Clarkson’schen Ungleichungen (s. o.) geht wesentlich ein, dass für und stets die Ungleichung besteht.
Siehe auch Hanner-Ungleichungen Parallelogrammgleichung
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Analysis Clarkson, Ungleichungen von