Eine Pseudobewertung ist eine abgeschwächte Variante eines Betrags.
Definition Sei ein unitärer Ring. Eine Abbildung in die nichtnegativen reellen Zahlen wird Pseudobewertung genannt, wenn für alle folgende Eigenschaften gelten: (1) (Definitheit) (2) (3) (Submultiplikativität) Wird (3) verschärft zu (3a) (Multiplikativität), so ist ein Betrag.
Die Pseudobewertung heißt nicht-archimedisch, wenn (4) gilt.
Eigenschaften Für eine Pseudobewertung gelten stets
und (Dreiecksungleichung). Für eine Pseudobewertung gilt stets , für einen Betrag gilt sogar . Jeder unitäre Ring mit Betrag ist notwendigerweise bereits ein Integritätsring (durch die Multiplikativität vererbt sich die Nullteilerfreiheit der reellen Zahlen auf den Ring). Die Funktion
definiert die von der Pseudobewertung induzierte Metrik. Sie ist eine Ultrametrik, wenn jener nicht-archimedisch ist.
Beispiele Sei ein unitärer Ring mit Pseudobewertung. Polynomringe mit Pseudobewertung Dann sind die Polynomalgebren in einer bzw. in mehreren Veränderlichen selbst wiederum unitäre Ringe (mit der Polynommultiplikation). Die 1-Pseudonorm ist auf diesen Polynomringen eine Pseudobewertung. Matrizenringe mit Pseudobewertung Analog sind die Matrizenalgebren wiederum unitäre Ringe (hier mit der Matrizenmultiplikation). Hier ist sogar die p-Pseudonorm für jedes reelle p mit eine Pseudobewertung auf dem Matrizenring.
Kategorie:Algebra