Der Carré-Du-Champ-Operator (wörtlich Quadrat-des-Feldes-Operator) ist ein bilinearer, symmetrischer Operator aus der Analysis und der Stochastik. Der Carré-Du-Champ-Operator misst, wie weit ein Operator davon entfernt ist, eine Derivation zu sein.
Der Operator wurde erstmals 1969 von Hiroshi Kunita beschrieben und 1976 unabhängig von Jean-Pierre Roth in seiner Doktorarbeit wiederentdeckt.
Der Name "carré du champ" (Quadrat des (Vektor-)feldes) stammt aus der Elektrostatik.
Carré-Du-Champ-Operator einer Markow-Halbgruppe Gegeben sei ein σ-endlicher Maßraum und eine Markow-Halbgruppe von nicht-negativen Operatoren auf .
Weiter sei der infinitesimale Generator von und eine Algebra der Funktionen in der Domäne , das bedeutet ein Vektorraum der geschlossen unter Multiplikation ist. Es gilt also, wenn , dann auch .
Carré-Du-Champ-Operator Der Carré-Du-Champ-Operator der markowschen Halbgruppe ist der Operator definiert (nach P. A. Meyer) durch
für alle .
Erläuterungen Aus der Definition folgt
Positivität Für folgt aus somit und
Domäne der Markow-Halbgruppe Die Domäne ist definiert als
Carré-Du-Champ-Operator nach Roth Sei ein lokalkompakter Raum und ein linearer Operator mit Domäne darauf.
Positives Maximumprinzip erfüllt das positive Maximumprinzip, wenn für alle und mit
gilt, dass
Carré-Du-Champ-Operator Sei nun ein Operator, der das positive Maximumprinzip erfüllt und dessen Domäne dicht in liegt. Außerdem sei stabil gegenüber der Multiplikation, d. h.
Dann ist der Carré-Du-Champ-Operator , der symmetrische bilineare Operator definiert durch
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Analysis Kategorie:Stochastik Kategorie:Mathematische Funktion