Ein stochastischer Fluss bezeichnet in der Mathematik den probabilistischen Begriff des Flusses. Genauer bedeutet dies für eine Indexmenge die Abbildung
welche die Flussgleichungen pfadweise erfüllt. Ein Fluss ist somit ein Zufallsfeld.
Der Begriff findet vor allem Anwendung in der Lösungstheorie der stochastischen Differentialgleichungen. Flüsse werden aber ganz allgemein definiert, ohne den Begriff der Differentialgleichung zu verwenden.
Stochastische Flüsse Sei eine Menge, welche die Zeit eines Systems darstellt. Fluss Als Fluss auf einem Messraum bezeichnet man eine Familie von messbaren Funktionen
so dass für alle die Flussgleichungen
erfüllt sind.
Betrachtet man den Fluss einer Differentialgleichung, so bezeichnet die Lösung dieser Gleichung, welche zum Zeitpunkt in startet.
Setzt man nun einen Wahrscheinlichkeitsraum davor, das heißt man betrachtet einen Messraum und die Zufallsvariablen
so das pfadweise die Flussgleichungen erfüllt sind, dann erhält man einen stochastischen Fluss.
Stochastischer Fluss Sei ein Messraum, sei die Identische Abbildung und oder . Ein stochastischer Fluss ist der Prozess
so dass die Flussgleichungen erfüllt sind, das heißt für alle
Oder äquivalent, definiere für einen Punkt die Abbildung
dann lässt sich der stochastische Flusses auch als Familie von Zufallsfunktionen
auffassen.
Erläuterungen Die Flussgleichungen sind in der Schreibweise wie folgt zu verstehen:
Die zum Fluss assoziierte Familie von Prozessen Für definieren wir
dann ist die dem Fluss assoziierte Familie von stochastischen Prozessen.
bezeichnet die Verteilung eines Pfades des stochastischen Flusses.
Brownsche Flüsse Falls die für und für alle unabhängig sind, dann nennt man einen brownschen Fluss. Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Stochastik Kategorie:Stochastischer Prozess