Der Dunkl-Operator ist ein Differential-Differenz-Operator aus der Lie-Theorie, der einer endlichen Reflexionsgruppe eines Wurzelsystems zugeordnet ist. Er wurde 1989 von dem amerikanischen Mathematiker Charles F. Dunkl eingeführt.
In der Stochastik untersucht man die Dunkl-Prozesse, die càdlàg Markow-Prozesse sind, deren infinitesimaler Generator eine Summe von Dunkl-Operatoren ist.
Dunkl-Operator Wir betrachten mit euklidischem Skalarprodukt und Skalarproduktnorm .
Sei ein Wurzelsystem in , ein positives Teilsystem von , die Spiegelungsgruppe von , d. h. die Gruppe, die durch die Spiegelungen , definiert durch , erzeugt wird, eine Multiplizitätsfunktion, d. h. eine Funktion auf dem Wurzelsystem, die invariant unter ist, d. h. . Die Menge aller Multiplizitätsfunktionen bezeichnen wir mit , die Richtungsableitung bezüglich eines Vektores .
Dunkl-Operator Sei nun und und . Der zugehörige Dunkl-Operator ist definiert durch
Da noch weitere Dunkl-Operatoren existieren, nennt man diesen auch rationaler Dunkl-Operator.
Eigenschaften Für ein fixes kommutiert der Dunkl-Operator, d. h für und gilt
Dunkl-Prozess Für eine nichtnegative Multiplizitätsfunktion und Standardvektoren definieren wir nun die Dunkl-Operatoren definiert für durch
Der Dunkl-Laplace-Operator ist definiert als
Der Dunkl-Prozess ist der Markow-Prozess mit dem infinitesimalen Generator
Beispiel Für , eine Multiplizitätsfunktion und einen Dunkl-Prozess lautet der infinitesimale Generator explizit
wobei den gewöhnlichen Laplace-Operator auf bezeichnet.
Literatur
Dunkl-Prozesse
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialoperator Kategorie:Theorie der Lie-Gruppen