In der Mathematik ist die Khovanov-Homologie eine Knoteninvariante, die das Jones-Polynom „kategorifiziert“: sie ist eine Homologietheorie, deren gradierte Euler-Charakteristik das Jones-Polynom ergibt.
Konstruktion Die Khovanov-Homologie soll eine Invariante von orientierten Knoten und Verschlingungen sein. Man ordnet zunächst einem Diagramm einen gradierten Kettenkomplex zu (die „Khovanov-Klammer“) und definiert dann die Khovanov-Homologie als die gradierte Homologie dieses Komplexes.
Die Khovanov-Klammer von Diagrammen wird durch folgende Eigenschaften eindeutig festgelegt Die Khovanov-Klammer der leeren Menge ist der Komplex . . Wenn Diagramme dreier Verschlingungen sich nur in einem kleinen Ausschnitt wie im Bild unten unterscheiden, dann ist . Dabei ist ein gradierter Vektorraum mit Erzeugern und in Graden und , steht für Gradverschiebung um , und macht aus einem Doppelkomplex einen Komplex durch bilden direkter Summen entlang Diagonalen. 64px| 64px| 64px|
Die Khovanov-Homologie ist dann definiert als Homologie von , wobei für die Anzahl der positiven und negativen Überkreuzungen des Diagramms steht, für die Gradverschiebung im Kettenkomplex und wieder für die Gradverschiebung im gradierten Vektorraum steht.
Khovanov-Homologie ist eine Invariante von Verschlingungen: unterschiedliche Diagramme einer Verschlingung geben dieselbe Khovanov-Homologie.
Eigenschaften
Khovanov-Homologie ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Verschlingungen und Linkkobordismen in die Kategorie der Vektorräume und Vektorraumhomomorphismen über dem Körper .
Khovanov-Homologie einer Verschlingung ist ein -Vektorraum mit folgenden Eigenschaften: Isotope Verschlingungen haben isomorphe Khovanov-Homologie. Für die disjunkte Vereinigung von Verschlingungen gilt , insbesondere ist die Khovanov-Homologie der leeren Menge isomorph zu .. Die Khovanov-Homologie des Unknotens ist . Wenn Diagramme dreier Verschlingungen sich nur in einem kleinen Ausschnitt wie im Bild unten unterscheiden, dann gibt es ein exaktes Dreieck . 64px| 64px| 64px|
Khovanov-Homologie hat eine Bigradierung , so dass ein Linkkobordismus eine Abbildung vom Bigrad induziert, der Erzeuger von den Bigrad und die Erzeuger von den Bigrad und haben, das exakte Dreieck gibt im Fall einer negativen Überkreuzung eine lange exakte Sequenz
wobei die Anzahl der negativen Überkreuzungen von minus die Anzahl der negativen Überkreuzungen von ist, und im Fall einer positiven Überkreuzung eine lange exakte Sequenz
wobei die Anzahl der negativen Überkreuzungen von minus die Anzahl der Überkreuzungen von ist. 64px|Positive Überkreuzung 64px|Negative Überkreuzung Positive Überkreuzung Negative Überkreuzung
Khovanov-Homologie als Kategorifizierung des Jones-Polynoms
Für eine orientierte Verschlingung ist die gradierte Euler-Charakteristik
das Jones-Polynom von .
Literatur
M. Khovanov: A categorification of the Jones polynomial, Duke Mathematical Journal, 101 (3): 359–426, 2000. Dror Bar-Natan: On Khovanov's categorification of the Jones polynomial, Algebraic & Geometric Topology, 2: 337–370, 2002.
Kategorie:Knoteninvariante Kategorie:Homologietheorie
Weblinks
Khovanov homology (Knot Atlas)