mini|hochkant|Atle Selberg (1917–2007)
Die Selberg-Klasse ist ein mathematischer Begriff aus der Zahlentheorie. Der norwegisch-US-amerikanische Mathematiker Atle Selberg führte diese Klasse von Funktionen im Jahr 1989 ein. Sie enthält die für die Zahlentheorie fundamentale Riemannsche Zeta-Funktion und zahlreiche, aber sorgfältig ausgewählte, verwandte Funktionen, sogenannte L-Funktionen. Diese Verwandtschaft kommt folgendermaßen zustande: die Selberg-Klasse besteht aus allen Dirichlet-Reihen, welche grundlegende Eigenschaften mit der Riemannschen Zeta-Funktion gemeinsam haben: Absolute Konvergenz auf einer Halbebene der komplexen Zahlen, Analytische Fortsetzbarkeit, Funktionalgleichung, Ramanujan-Bedingung, Euler-Produkt.
Damit enthält die Selberg-Klasse, neben der Riemannschen Zeta-Funktion, auch zum Beispiel die Dirichletschen L-Funktionen zu primitiven Dirichlet-Charakteren, die Dedekindschen L-Funktionen zu algebraischen Zahlkörpern und die Heckeschen L-Funktionen zu primitiven Größencharakteren. Bei Artinschen L-Funktionen hängt die Frage der Mitgliedschaft in der Selberg-Klasse von der Artin-Vermutung ab. Diese konnte bislang nur für einen Teil der Artinschen L-Funktionen bewiesen werden.Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160–161.
Mit der Selberg-Klasse verbindet sich die Hoffnung, die Eigenschaften und Struktur von Funktionen aufklären zu können, die Mathematiker weithin als geeignete Verallgemeinerungen der Riemannschen Zeta-Funktion betrachten. Dadurch soll nicht zuletzt ein Weg zum Beweis der Riemannschen Vermutung geebnet werden. Man nimmt sogar an, dass alle Funktionen in der Selberg-Klasse die sogenannte Große Riemannsche Vermutung erfüllen: keine Nullstelle, deren Realteil den Wert 1/2 übersteigt.Jörn Steuding: Value-Distribution of L-Functions. 2007, Abschnitt 6.1, S. 115. Könnte man die Selbergsche Orthonormalitätsvermutung für die Funktionen in der Selberg-Klasse beweisen, so würde daraus die Richtigkeit der Artin-Vermutung folgen.Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.5, Theorem 2.5.4, S. 175. Bislang weder bewiesen noch widerlegt, sind Fortschritte bei der Erforschung dieser Vermutungen für die Zahlentheorie und die gesamte Mathematik von höchster Bedeutung.
Definition
Im Folgenden sind komplexe Zahlen und durchläuft die natürlichen Zahlen. Der Buchstabe bezeichnet eine komplexe Variable, steht für den Realteil von , für ihren Absolutbetrag und für die zu konjugiert komplexe Zahl. bezeichnet die Gamma-Funktion. mini|hochkant=1.2|Der Ausgangspunkt der Definition der Selberg-Klasse: die Riemannsche Zeta-Funktion in der komplexen Ebene mit Kolorierung der Funktionswerte. Die Null, also der Ursprung der komplexen Ebene, befindet sich genau in der Mitte des Schaubildes. Die im Bild sichtbaren, sogenannten nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion liegen auf der nicht eingezeichneten, vertikalen Linie durch 0,5. Sie sind als schwarze Punkte auf dieser gedachten Linie erkennbar. Das Schaubild besitzt einen einzigen rein weißen Punkt. Dieser gehört zur einzigen Polstelle der Zeta-Funktion in , also eine Einheit rechts vom Ursprung. Die Selberg-Klasse ist definiert als die Menge aller Dirichlet-Reihen
welche die folgenden fünf Eigenschaften erfüllen, auch „Axiome“ oder „Annahmen“ genannt:Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 47–48.Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 159–160.Alberto Perelli: An Introduction to the Selberg Class of L-Functions. 2007, Kapitel 2, S. 5.Jörn Steuding: Value-Distribution of L-Functions. 2007, Kapitel 6, S. 111.
1. Absolute Konvergenz
konvergiert absolut für .Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 47, (1.1).Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 159, (1).
2. Analytische Fortsetzbarkeit
lässt sich fortsetzen zu einer meromorphen Funktion der komplexen Zahlenebene, und zwar so, dass für eine ganze Zahl gilt:
ist eine ganze Funktion endlicher Ordnung.Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 47, Text zwischen (1.1) und (1.2).Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160, (2). Insbesondere besitzen Funktionen in der Selberg-Klasse höchstens in eine Polstelle.
3. Funktionalgleichung
erfüllt eine Funktionalgleichung vom TypAtle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 47, (1.2).Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160, (3).
.
Hierin ist mit und wird Wurzelzahl genannt.
ist definiert durch
mit einem sogenannten Gamma-Faktor .Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 48, (1.3).Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160, (3).
Dabei ist eine natürliche Zahl, und sind reelle Zahlen, und komplexe Zahlen mit .
Wie üblich erhält das leere Produkt den Wert 1, d. h. im Fall .
4. Ramanujan-Bedingung
erfüllt und für beliebiges, fest gewähltes .Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 48, (1.7).Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160, (4).Die Ramanujan-Bedingung wird häufig auch Ramanujan-Vermutung (engl. Ramanujan hypothesis) genannt. Es handelt sich aber hier nicht um eine unbewiesene Vermutung über Funktionen in der Selberg-Klasse, sondern um eine Eigenschaft, die Funktionen in der Selberg-Klasse definitionsgemäß erfüllen müssen. Die implizite Konstante im Landau-Symbol darf von abhängen. mini|Ein weiteres Beispiel einer Funktion in der Selberg-Klasse: Die Dirichletsche L-Funktion zum primitiven Dirichlet-Charakter modulo 7 mit , und zwar für komplexe mit und : Da es sich bei um einen nicht-trivialen Dirichlet-Charakter handelt, ist die abgebildete Funktion ganz, besitzt also keine Polstelle wie die Riemannsche Zeta-Funktion in . Deshalb enthält die Selberg-Klasse auch alle verschobenen L-Funktionen dieser L-Funktion. Die schwarzen Punkte im vertikalen Streifen gehören zu den unendlich vielen, nicht-trivialen Nullstellen dieser Dirichletschen L-Funktion. Die Große Riemannsche Vermutung erwartet jede dieser nicht-trivialen Nullstellen auf der vertikalen Geraden .
5. Euler-Produkt Für istAtle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 48, (1.8).
, wobei , außer wenn eine Primzahlpotenz ist, also mit einer Primzahl und einer natürlichen Zahl .
Hierbei muss außerdem gelten:
mit einem .Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 48, (1.9).Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160, (5).
Beispiele
Die Selberg-Klasse enthält unter anderem die folgenden, für die Zahlentheorie wichtigen Funktionen:Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 160–161.
Die Riemannsche Zeta-Funktion . Das ist gewissermaßen der Ausgangs- und Mittelpunkt der Selberg-Klasse. Die Dirichletschen L-Funktionen zu primitiven Dirichlet-Charakteren . Die L-Funktionen zu nicht-primitiven Charakteren liegen nicht in , da sie keine Funktionalgleichung der geforderten Form erfüllen. Die Dedekindschen L-Funktionen zu algebraischen Zahlkörpern . Die Heckeschen L-Funktionen zu primitiven Größencharakteren mit einem Ideal des Ringes der ganzen Zahlen eines algebraischen Zahlkörpers . Die L-Funktionen zu holomorphen Neuformen bzgl. einer Kongruenzuntergruppe der Modulgruppe . Um zur Selberg-Klasse zu gehören, müssen solche L-Funktionen gegebenenfalls geeignet normalisiert werden.Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 1.4.4, S. 150. Die Rankin-Selberg-Faltung zweier beliebiger, normalisierter, holomorpher Neuformen und . Dabei sind und die Fourier-Koeffizienten der Modulformen und .Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 1.4.5, S. 150–153.Aleksandar Ivić: The Theory of Hardy's Z-Function. 2012, Abschnitt 3.3, S. 53. Ist ganz, also polstellenfrei, so enthält auch die verschobenen L-Funktionen für jedes reelle .Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 161. Da die Riemannsche Zeta-Funktion einen Pol in besitzt, gehören die Funktionen , , , nicht zur Selberg-Klasse: die geforderte, analytische Fortsetzbarkeit erlaubt Polstellen höchstens in . Sofern sie die Artin-Vermutung erfüllen: Artinschen L-Funktionen zu nicht-trivialen, irreduziblen Darstellungen der Galoisgruppe normaler Zahlkörpererweiterungen in die allgemeine lineare Gruppe eines endlich-dimensionalen Vektorraums .Jerzy Kaczorowski: Axiomatic Theory of L-Functions: the Selberg Class. 2006, Abschnitt 2.1, S. 161.
Weitere Begriffe und Eigenschaften Die Selberg-Klasse ist multiplikativ abgeschlossen, somit ein multiplikatives Monoid, mit der konstanten Funktion als neutralem Element in .M. Ram Murty, V. Kumar Murty: Non-vanishing of L-Functions and Applications. 1997, Kapitel 7, S. 178. Aus folgt also stets .
Eine Funktion heißt primitiv, wenn für alle mit gilt: oder .Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 49.M. Ram Murty, V. Kumar Murty: Non-vanishing of L-Functions and Applications. 1997, Kapitel 7, S. 178. Jede Funktion in der Selberg-Klasse besitzt eine Faktorisierung in primitive Funktionen der Selberg-Klasse.Jörn Steuding: Value-Distribution of L-Functions. 2007, Kapitel 6, Theorem 6.2, S. 117. Ob diese Faktorisierung stets eindeutig ist (natürlich nur bis auf die Reihenfolge der Faktoren), konnte noch nicht für alle Funktionen in der Selberg-Klasse bewiesen werden. Die Nullstellen einer Funktion unterteilt man in triviale und nicht-triviale Nullstellen. Die trivialen befinden sich definitionsgemäß an den Polstellen der Faktoren , die in der Funktionalgleichung von erscheinen. Alle übrigen Nullstellen werden nicht-trivial genannt.Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 48. Die trivialen Nullstellen besitzen stets einen Realteil .Jörn Steuding: Value-Distribution of L-Functions. 2007, Abschnitt 6.1, S. 115.
Selberg-Vermutungen
Atle Selberg selbst hat die folgenden Vermutungen für die nach ihm benannte Funktionen-Klasse aufgestellt:
Vermutung 1:Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, Formel (1.11), S. 49. Für alle (nicht notwendig primitiven) existiert ein mit
Vermutung 2:Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, Conjecture 1.1, Formel (1.12), S. 49. Für alle primitiven ist , also
Vermutung 3:Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, Conjecture 1.2, Formel (1.13), S. 49. Für verschiedene, primitive gilt: mini|Formulierte 1859 die nach ihm benannte Vermutung für die Riemannsche Zeta-Funktion : Bernhard Riemann (1826–1866) Vermutung 4:Atle Selberg: Old and new conjectures and results about a class of Dirichlet series. 1989, Kapitel 1, S. 50, dritter Abschnitt. Besitzt die Faktorisierung
in primitive Funktionen , ist darüber hinaus ein primitiver Dirichlet-Charakter, und liegt die Funktion definiert durch
ebenfalls in , dann sind auch die entsprechend gebildeten Funktionen primitiv, liefern also die primitive Faktorisierung