In der Mathematik sind Reeb-Vektorfelder (benannt nach Georges Reeb) ein Konzept der Kontaktgeometrie. Eigenschaften von Reeb-Vektorfeldern sind bei der Suche nach periodischen Bahnen nützlich.
Definition
Sei eine Kontaktform auf einer Mannigfaltigkeit . Das Reeb-Vektorfeld der Kontaktform ist das eindeutig bestimmte Vektorfeld auf , welches die beiden Bedingungen für jedes Vektorfeld und jedes für jedes erfüllt.
Der Fluss des Reeb-Vektorfeldes wird als Reeb-Fluss bezeichnet, seine Bahnen als Reeb-Orbiten.
Beispiele
Für die Standard-Kontaktform auf ist das Reeb-Vektorfeld . Für die Standard-Kontaktform auf der 3-Sphäre ist das Reeb-Vektorfeld . Seine Bahnen sind die Fasern der Hopf-Faserung. Für die kanonische Kontaktform auf dem Einheits-Kotangentialbündel einer riemannschen Mannigfaltigkeit entspricht das Reeb-Vektorfeld unter dem durch die Metrik gegebenen Isomorphismus dem Vektorfeld des geodätischen Flusses.
Literatur
H. Geiges: An introduction to contact topology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 2008
Kategorie:Kontaktgeometrie