Vaughans Identität ist eine Formel aus der analytischen Zahlentheorie für die Mangoldt-Funktion . Die Identität wurde 1977 von Robert Charles Vaughan veröffentlicht.
Es existieren leicht verschiedene Formen der Identität, die aber allesamt gleichwertig sind. 1982 erschien eine Verallgemeinerung von Roger Heath-Brown.
Einführung
In vielen Problemstellungen der Zahlentheorie muss man Summen der Form
abschätzen, wobei die Mangoldt-Funktion ist und oft eine zahlentheoretische Funktion. Es gibt hierfür drei klassische Methoden Winogradows Methode. Null-Dichte-Methoden für Dirichletsche L-Funktionen (). Vaughans Identität.
Winogradows Methode: Winogradow studierte trigonometrische Summen
und fand dabei eine Methode diese abzuschätzen. Er bewies damit seinen Satz von Winogradow. Seine Methode lässt sich auch auf summatorische Funktionen mit der Mangoldt-Funktion übertragen, jedoch ist sie nicht-trivial und schwieriger als die anderen beiden Methoden.
Null-Dichte-Methoden: Die zweite Methode behandelt Schranken für die Null-Dichte, dies sind obere Schranken für die Funktion , welche die Anzahl der Nullstellen der Funktion in der Region zählt. Solche Schranken wiederum können aus den Ungleichungen des großen Siebs hergeleitet werden.
Vaughans Identität Seien und zwei positive Schranken und , dann lässt sich die Mangoldt-Funktion in vier Funktionen aufteilen
wobei die vier Ausdrücke wie folgt definiert sind:
bezeichnet die Möbius-Funktion, welche für natürliche Zahlen definiert ist.
Anwendung auf gewichtete Mangoldt-Summen Wendet man Vaughans Identität auf Summen von Mangoldt-Funktion der Form
an, entsteht folgende Zerlegung
wobei
für gilt.
Summen vom Type I und Type II Die durch Vaughans Identität entstehenden vier Summen , , und werden in zwei Typen eingeteilt.
Dabei entstehen sogenannte bilineare Formen der Gestalt
Eine Type-I-Summe ist eine Doppelsumme der Form
bei der eine der beiden Summationsvariablen auf einen vergleichsweise kurzen Bereich beschränkt ist (typischerweise ist klein). Dadurch kann die innere Summe über oft direkt oder durch elementare Methoden abgeschätzt werden.
Eine Type-II-Summe ist eine bilineare Form der Gestalt
bei der beide Summationsvariablen von vergleichbarer Größe sind. Solche Summen sind schwieriger und es sind stärkere Methoden der analytischen Zahlentheorie notwendig.
Erläuterungen Man unterscheidet zwei Fälle, für den ersten Fall ist nur relevant
Man kann zeigen, dass in diesem Fall und offensichtlich auch .
Im zweiten Fall sind hingegen nur die drei Summen relevant
Herleitung Wir führen folgende Hilfsfunktionen ein
Die Dirichletreihe mit der Mangoldt-Funktion lässt sich mit der logarithmischen Ableitung des Euler-Produkts als Zeta-Funktion schreiben
Die rechte Seite formt man nun mit Hilfe von und etwas um (durch ausmultiplizieren sieht man, dass beide Seiten äquivalent sind)
Jedes der kann als Dirichlet-Reihe dargestellt werden und somit
wobei der Koeffizient von in ist.
Als Nächstes schreiben wir die Mangoldt-Funktion um
wobei sich die rechte Seite daraus erklärt, dass wir über alle Kombinationen der Form summieren (da summiert man über alle Teiler) und . Teilen wir diese Summe in und auf, so ist ersteres . Die Summe mit schreiben wir um, indem wir den Logarithmus als summatorische Mangoldt-Funktion darstellen, und dann bringen wir sie durch ein kombinatorisches Argument auf die Menge mit einem Vorzeichenwechsel
Die rechte Seite lässt sich dann nochmals umschreiben und in und aufteilen, dann erhält man und .
Heath-Browns Identität
Definiere für die Hilfsfunktion
Für gilt
Einzelnachweise
Kategorie:Analytische Zahlentheorie Kategorie:Satz (Zahlentheorie)