Der Satz von Itō-Nisio ist ein mathematischer Satz aus der Stochastik, der die Konvergenz in Banach-Räumen charakterisiert. Er zeigt die Äquivalenz der Konvergenzarten für Summen von unabhängigen und symmetrischen Zufallsvariablen in Banach-Räumen. Der Satz führt zu einer Verallgemeinerung der Wiener-Konstruktion der brownschen Bewegung und folglich zu einer neuen Definition der brownschen Bewegung.

Die Aussagen des Theorems wurden ursprünglich in zwei Varianten formuliert, eine Aussage für symmetrische Verteilungen und eine für allgemeine Verteilungen, wobei heute der symmetrische Fall als Satz von Itō-Nisio bezeichnet wird. Die Symmetrie-Eigenschaft benötigt man, da man in einem unendlichdimensionalen Raum ist.

Der Satz wurde 1968 von den japanischen Mathematikern Itō Kiyoshi und Makiko Nisio bewiesen.

Satz von Itō-Nisio Vorbereitung Sei ist ein separabler Banach-Raum über mit der durch die Norm induzierten Topologie und sein Dualraum.

Mit bezeichnen wir eine -Zufallsvariable, das heißt eine Banach-wertige Zufallsvariable. Mit bezeichnen wir die duale Paarung. Aussage

Sei eine Folge unabhängiger und symmetrischer -Zufallsvariablen auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum. Sei deren Partialsumme und sei die Wahrscheinlichkeitsverteilung von . Weiter sei eine -Zufallsvariable. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: fast sicher. in Wahrscheinlichkeit. konvergiert in der Prochorow-Metrik. ist straff. in Wahrscheinlichkeit für jedes . Es existiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf , so dass für jedes gilt

Bemerkung Für nicht-symmetrische Zufallsvariablen: In endlicher Dimension gilt die Äquivalenz für alle Punkte außer 4 (d. h. die Straffheit von ). In unendlicher Dimension gilt , aber gilt im Allgemeinen nicht.

Anwendung

Verallgemeinerte Wiener-Konstruktion der brownschen Bewegung

Sei eine brownsche Bewegung mit . Dann existiert ein Isomorphismus zwischen dem reellen Hilbertraum und dem durch die aufgespannten reellen Hilbertraum in (CM steht für Cameron-Martin) durch

Sei eine Orthonormalbasis in und die dazugehörige Orthonormalbasis in . Die sind unabhängig.

Dann konvergiert die zufällige orthogonale Reihenentwicklung

gleichmäßig zur brownschen Bewegung

fast sicher.

Definition der brownschen Bewegung

Als Folgerung der Konstruktion erhält man eine neue Definition der brownschen Bewegung.

Seien unabhängig, weiter sei eine Orthonormalbasis in . Dann konvergiert

gleichmäßig in fast sicher gegen eine brownsche Bewegung.

Literatur

Einzelnachweise

Ito-Nisio, Satz von