Die Ungleichung von Lévy () ist eine stochastische Ungleichung innerhalb des Gebiets der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welche auf den Mathematiker Paul Lévy (1886–1971) zurückgeht. Sie bezieht sich auf endliche Familien von unabhängigen reellwertigen Zufallsvariablen und liefert dafür eine obere Abschätzung unter Einbeziehung von Medianen. Nach A. N. Širjaevs Lehrbuch Wahrscheinlichkeit lässt sich nicht zuletzt mit Hilfe (einer speziellen Version) dieser Ungleichung ein Hilfssatz zum Beweis des Gesetzes vom iterierten Logarithmus für Summen von Zufallsvariablen gewinnen.A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit. 1988, S. 388–391Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. Dritter Band. Inp bis Mon. 2001, S. 276
Formulierung Die Ungleichung lässt sich wie folgt angeben:Širjaev, op. cit., S. 391 Gegeben seien eine natürliche Zahl sowie ein Wahrscheinlichkeitsraum und dazu unabhängige reellwertige Zufallsvariablen und dabei sei für (wie üblich) Hier ist dann selbstverständlich gesetzt. gesetzt.
Weiter sei für reellwertige Zufallsvariable mit stets ein -Median gemeint.
Dann ist für reelle Zahlen stets die Ungleichung
erfüllt.
Spezialfall Die obige Ungleichung vereinfacht sich für den Fall, dass symmetrisch verteilte Zufallsvariablen vorliegen.Dies ist die spezielle Version, die zum Beweis des Gesetzes vom iterierten Logarithmus für Summen von Zufallsvariablen benötigt wird. Es gilt nämlich gemäß Širjaev folgendes:Širjaev, op. cit., S. 388
Sind die allgemeinen Voraussetzungen wie oben angegeben und sind überdies die Zufallsvariablen alle symmetrisch um Null verteilt, so ist die Ungleichung
gültig.
Varianten Nach Darstellung von Michel Loève in dessen Lehrbuch Probability Theory I und ebenso nach der von Laha/Rohatgi in deren Lehrbuch Probability Theory (s. u.) spricht man sogar von zwei Ungleichungen von Lévy ().Diese beiden sind mit der zuvor formulierten Lévy-Ungleichung offenbar eng verwandt. Sie lassen sich folgendermaßen angeben:M. Loève: Probability Theory I. 1977, S. 259–260R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 98–99
Unter den zuvor angegebenen Grundvoraussetzungen sind für reelle Zahlen stets die beiden Ungleichungen
(i)
und
(ii) Mit ist die reelle Betragsfunktion gemeint.
erfüllt.
Verallgemeinerungen Es existieren Verallgemeinerungen der Ungleichung von Lévy und darunter sogar eine mit dieser direkt verwandte Ungleichung, welche die obige Variante (ii) (bei fast gleichem Wortlaut) auf den Fall verallgemeinert, dass (vergleichbar dem obigen Spezialfall) endlich viele symmetrisch verteilte Zufallsvariablen vorliegen, die dann aber sogar Werte in einem beliebigen separablen Banachraum annehmen dürfen, wobei dessen Norm dann an die Stelle der obigen Betragsfunktion tritt.R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 465A. I. Sakhanenko: On Lévy–Kolmogorov Inequalities for Banach-Space-Valued Random Variables. In: Theory of Probability & Its Applications. 29, S. 830–836
Literatur
Weblinks Eintrag Lévy, Ungleichung von im Lexikon der Mathematik (2017)
Einzelnachweise
Anmerkungen
Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung Levy, Ungleichung von Kategorie:Paul Lévy