Bei der Gelfond-Konstanten handelt es sich um die reelle Zahl Mit wird die imaginäre Einheit bezeichnet. Bei der Potenzrechnung wird der Hauptwert des komplexen Logarithmus zu Grunde gelegt.Hinsichtlich der exakten Dezimaldarstellung siehe .

Sie ist nach dem russischen Mathematiker Alexander Ossipowitsch Gelfond benannt, der im Jahre 1929 als erster bewiesen hat, dass dies eine transzendente Zahl ist. Das Interesse an ihr beruht darauf, dass David Hilbert in dem berühmten Vortrag, den er im Jahre 1900 auf dem Internationalen Mathematikerkongress von Paris über Mathematische Probleme hielt, (neben ) in der Darlegung des siebten Problems explizit als vermutlich transzendent erwähnt. Hilbert erwähnte in dem Vortrag auch, dass er einen Beweis für äußerst schwierig halte. In der Tat war der Beweis Gelfonds von 1929 nur ein erster Schritt zur Lösung des gesamten Problems. Im Jahre 1930 konnte Rodion Ossijewitsch Kusmin (unter anderem) zeigen, dass auch transzendent ist. Dann aber lag schon im Jahr 1934 mit dem Satz von Gelfond-Schneider die vollständige Lösung des siebten Hilbert’schen Problems vor.

Darstellungen Von diesen Darstellungen existieren mehrere.

Darstellung als Reihe Aus der Reihenentwicklung der Exponentialfunktion ergibt sich eine Verbindung der Gelfond-Konstanten mit den Volumina der Einheitskugeln in den euklidischen Räumen geradzahliger Dimension, also in den .

Denn es ist ja

Man beachte, dass hier gilt, wobei die Gammafunktion ist.

Darstellung als Grenzwert einer schnell konvergenten Folge Diese Folgenkonvergenz geht aus einer Folge hervor, welche durch rekursive Definition gewonnen wird:

(a) (b)

Damit hat man: .

Darstellung als Kettenbruch Die Darstellung der Gelfond-Konstanten als regulärer KettenbruchHier sind alle Teilzähler gleich 1. Da notwendigerweise irrational ist, ist diese Darstellung unendlich. beginnt mit

. Wegen der Teilnenner im Einzelnen siehe .

Verwandte Zahlen Bei der Untersuchung der Eigenschaften der Gelfond-Konstanten gelangt man auch zu der Frage, was man über reelle Zahlen sagen kann, die als ähnlich gebildete Potenzen aus eulerscher Zahl und Kreiszahl hervorgehen.

Bildet man hier (etwa) für eine natürliche Zahl die (nach dem Satz von Gelfond-Schneider) transzendente Zahl

Interessant ist der Umstand, dass man für reelle Zahlen gewinnt, die fast ganzzahligIn der englischsprachigen Wikipedia bezeichnet man eine solche Fast-Ganzzahl als almost integer oder near-integer. Eine exakte Definition wird dort jedoch nicht geliefert, sondern lediglich eine Umschreibung. Danach zeichnet sich eine Fast-Ganzzahl dadurch aus, dass sie sehr nahe () bei einer ganzen Zahl liegt. sind.

Dies sind:

Siehe .

Siehe . Diese Zahl ist auch als Ramanujan-Konstante (Ramanujan's constant) bekannt. Siehe . Bemerkenswert ist überdies, dass unter diesen natürlichen Zahlen auch die drei größten Heegner-Zahlen 43, 67 und 163 auftreten!

Zu diesen Fast-Ganzzahlen zählt man auch die reelle Zahl

Siehe .Für deren Darstellung als regulärer Kettenbruch siehe .,

bei der es unklar scheint, ob es sich um eine algebraische oder um eine transzendente Zahl handelt.

Die Frage der Transzendenz steht ebenfalls bei mehreren der Gelfond-Konstanten ähnelnden Potenzen offen im Raum. Dazu gehören beispielsweise die folgenden:

Siehe . Siehe . Siehe . Siehe .

Literatur

Siehe auch Gelfond-Schneider-Konstante Transzendente Zahl

Weblinks Eintrag Gelfond's Constant bei MathWorld Eintrag Gelfond-Schneider Constant bei MathWorld Eintrag Almost Integer bei MathWorld

Einzelnachweise

Erläuterungen

Anmerkungen

Kategorie:Besondere Zahl