In der Additiven Zahlentheorie, einem der mathematischen Teilgebiete innerhalb der Zahlentheorie, wie auch im Teilgebiet der Kombinatorik untersucht man, ob eine zu einer natürlichen Zahl gegebene Partition so beschaffen ist, dass jede kleinere natürliche Zahl sich ebenfalls als Summe von einzelnen Summanden dieser Partition eindeutig darstellen lässt. Diese Fragestellung und das zugehörige Konzept gehen zurück auf den Mathematiker Percy Alexander MacMahon (1854–1929).J. J. Tattersall: Elementary number theory in nine chapters. 1999, S. 300 ff.
Definition Es sei eine natürliche Zahl Hier ist stets . gegeben und weiter eine Partition mit und .
Genügt diese Partition zusätzlich der Bedingung, dass jede der Zahlen sich stets aus gewissen der in dieser Partition auftretenden Summanden auf genau eine Art als Summe darstellen lässt,
so bezeichnet man sie als perfekt oder auch als vollkommen ().Halder-Heise: Elementary number theory in nine chapters. 1999, S. 300 ff.Martin Aigner: Combinatorial Theory. 1979, S. 84John Riordan: An Introduction to Combinatorial Analysis. 1978, S. 123–124
Eigenschaften und Beispiele In einer perfekten Partition tritt die stets als kleinster Summand auf. Für jedes ist die aus exakt Summanden aufgebaute Partition stets perfekt. Weiter ist für jede ungerade Zahl die aus einem einzigen Summanden und aus exakt Summanden aufgebaute Partition stets perfekt.Bei diesen beiden Arten von perfekten Partitionen spricht man auch von den trivialen perfekten Partitionen; vgl.: Wang, E Fang: Perfect partitions. In: Chinese Ann. Math. Ser. B 7, S. 267–272 Für die Zahl sind die Partitionen , , und perfekt. Für die Zahl ist keine perfekte Partition, denn es gibt etwa für die darunter liegende Zahl die beiden Partitionen und . Für die Zahl ist keine perfekte Partition, denn es gibt etwa für die darunter liegende Zahl die beiden Partitionen und .
Satz von MacMahon Die perfekten Partitionen stehen in unmittelbarer Beziehung zu den sogenannten geordneten Faktorisierungen von natürlichen Zahlen.
Eine solche geordnete Faktorisierung ist für eine natürliche Zahl mit genau dann gegeben, wenn ein sowie ein aus -Teilern bestehendes -Tupel vorliegen, so dass der Produktdarstellung genügt.Von dem trivialen Teiler wird hier also stets abgesehen. Der andere triviale Teiler wird hier indes nicht ausgeschlossen.
Hier gilt nun ein grundlegender Satz, der dem Mathematiker James Joseph Tattersall zufolge auf MacMahon zurückgehtTattersall, op. cit., S. 300. und sich darstellen lässt wie folgt:Halder/Heise, op. cit., S. 83 Für jede natürliche Zahl stimmen die Anzahl der perfekten Partitionen von einerseits und die Anzahl der geordneten Faktorisierungen der Folgezahl andererseits stets überein.
Korollar Aus dem MacMahon’schen Satz gewinnt man eine direkte Folgerung:Halder/Heise, op. cit., S. 84Riordan, op. cit., S. 124 Ist für eine natürliche Zahl die Folgezahl eine Primzahl, so besitzt genau eine perfekte Partition, nämlich die aus den Summanden aufgebaute triviale Partition .
Anzahlfunktion Mit den perfekten Partitionen ist die Frage nach den zugehörigen Anzahlen verbunden. Es geht also für jedes um die Anzahl aller Möglichkeiten, in Form einer perfekten Partition darzustellen.
Diese Zahlenfolge der beginnt mit folgenden Werten:Oft wird auch für ein Wert gesetzt, nämlich . Die hier genannten Komponenten dieser Zahlenfolge reichen bis und dem Wert . ().
Dabei gelten für diese Anzahlen oft interessante Kongruenzbeziehungen, die denen ähneln, die schon Srinivasa Ramanujan für die gewöhnliche Partitionsfunktion gefunden hat. So ist etwa für je zwei natürliche Zahlen und jede Primzahl stets die Kongruenz
gegeben.Agarwal/Subbarao: Some properties of perfect partitions. In: Indian J. Pure Appl. Math. 22, S. 737–743
Verallgemeinerungen Das Konzept der perfekten Partition ist weiter verallgemeinert worden. So legten etwa A. K. Agarwal und R. Sachdeva in 2018 die sogenannten n-color perfect partitions () vor.Agarwal/Sachdeva: Combinatorics and n-color perfect partitions. In: Ars Combin. 136, S. 29–43Augustine O. Munagi: Perfect compositions of numbers. In: J. Integer Seq. 23 , Art. 20.5.1
Literatur
Weblinks
Eintrag Perfekte Partition im Lexikon der Mathematik (2017)
Einzelnachweise
Anmerkungen
Kategorie:Zahlentheorie Kategorie:Kombinatorik