In der Mathematik sind Milnor-Faserungen ein häufig studiertes Beispiel der Singularitätentheorie.
Definition Sei ein Polynom in Variablen, für das und ein kritischer Punkt ist. Sei und für ein kleines .
Als Milnor-Faserung bezeichnet man die Abbildung . Als Milnor-Fasern bezeichnet man die Fasern (Urbilder) dieser Abbildung.
Eigenschaften der Milnor-Faserung Für ist ein Kegel über . Letzteres wird als Link der Singularität bezeichnet. Der Link der Singularität ist -zusammenhängend. Die Abbildung ist eine lokal-triviale Faserung. Wenn die komplexe Dimension des Keims der kritischen Menge von ist, dann sind die Milnor-Fasern -zusammenhängend. Insbesondere sind im Fall isolierter Singularitäten die Milnor-Fasern -zusammenhängend. Die Milnor-Fasern haben den Homotopietyp eines endlichen CW-Komplexes der reellen Dimension . Im Fall isolierter Singularitäten haben die Milnor-Fasern den Homotopietyp eines Bouquets von -Sphären. Die Zahl heißt die Milnor-Zahl der Singularität. Sie kann berechnet werden als , wobei die -Algebra der Keime analytischer Funktionen in ist. Die Milnor-Fasern sind parallelisierbar. Monodromiesatz: Sei die Monodromie der Milnor-Faserung. Dann sind die Eigenwerte von
stets Einheitswurzeln. Tatsächlich gibt es positive Zahlen und , so dass .
Beispiel Für
ist , , ein -Torusknoten, und die Existenz der Milnor-Faserung zeigt, dass es sich bei Torusknoten um gefaserte Knoten handelt. Die Faser ist eine nicht-kompakte Fläche, welche den Homotopietyp eines Bouquets von Kreisen hat, also eines -dimensionalen CW-Komplexes.
Literatur John Milnor: Singular points of complex hypersurfaces. Princeton 1968.
Kategorie:Algebraische Geometrie Kategorie:Differentialtopologie