Satz von Richert

Der Satz von Richert () ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Zahlentheorie, der von dem Mathematiker Hans-Egon Richert (1924–1993) im Jahr 1949 vorgelegt wurde. Der Satz behandelt die Frage der Summendarstellung von natürlichen Zahlen durch Primzahlen und gab Anlass zu einer Anzahl weiterführender Untersuchungen.Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. 1988, S. 151–153József Sándor et al.: Handbook of Number Theory. I, Kapitel=IX.9. 2006, S. 324 ff.

Formulierung des Richert’schen Satzes Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:Sierpiński, op. cit., S. 152 Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von verschiedenen Primzahlen darstellen. Mit anderen Worten: Ist und , so existieren stets ein und ein Tupel von paarweise verschiedenen Primzahlen, so dass die Summendarstellung gegeben ist.

Beispiele Folgende Beispiele für den Zahlbereich unterhalb von lassen sich nennen:

Für die Zahl ist eine Darstellung als Summe von zwei oder mehr Primzahlen offenbar unmöglich; s. Sierpiński, op. cit., S. 152&153.

Hier gibt es in Sierpińskis Buch offenbar einen Schreibfehler mit 2 anstelle von 3.

Verschärfungen Bei Hinzunahme weiterer Bedingungen lässt sich der Richert’sche Satz verschärfen:Sierpiński, op. cit., S. 153 Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von verschiedenen ungeraden Primzahlen darstellen. Wird jedoch auch die Primzahl zugelassen, so ist jede natürliche Zahl sogar als Summe von zwei oder mehr verschiedenen Primzahlen darstellbar.

Im Jahre 1974 legten die drei Mathematiker Robert E. Dressler, Andrzej Mąkowski und S. Thomas Parker eine Arbeit vor, wonach bei Einschränkung des Zahlbereichs weitere Präzisierungen hinsichtlich der -Kongruenzklassen der benutzten Primzahlen möglich sind:Sándor et al., op. cit., S. 325 Sei und sei dazu

Dann gilt: Für jede dieser vier Zahlen ist jede beliebige natürliche Zahl stets als Summe von verschiedenen Primzahlen der Form darstellbar.

Weitere Resultate Im Jahre 1976 lieferten Robert E. Dressler, Louis Pigno und Robert Young einen verwandten Satz, wonach die in den obigen Sätzen behandelte Frage der Summendarstellung auf Summen von Quadraten verschiedener Primzahlen übertragbar ist. Es gilt nämlich:Sándor et al., op. cit., S. 324 Jede natürliche Zahl ist als Summe von Quadraten paarweise verschiedener Primzahlen darstellbar.

Dieser Satz basiert auf einem von Hans-Egon Richert im Jahre 1949 vorgelegten Lemma sowie auf der von Dressler, Pigno und Young formulierten Ungleichung ,Sándor et al., op. cit., S. 247 welche ab der fünften Primzahl Gültigkeit hat. Weiter zu nennen ist in diesem Zusammenhang auch der ein verwandter Satz, der auf eine Arbeit des Mathematikers Roland Sprague (1894–1967) aus dem Jahre 1948 zurückgeht und wie folgt lautet:Herbert Meschkowski: Lust an der Erkenntnis: Moderne Mathematik. 1991, S. 19 ff., 151–153 Jede natürliche Zahl ist als Summe von verschiedenen Quadratzahlen darstellbar.

Partition in verschiedene Primzahlen Mit dem Richert’schen Satz verbunden ist die Frage nach der Anzahl der Möglichkeiten, eine natürliche Zahl Hier wird üblicherweise auch die Null einbezogen. als Summe von paarweise verschiedenen Primzahlen darzustellen, wobei die Reihenfolge dieser Summanden ohne Belang sein soll. Auf diesem Wege ergibt sich die Zahlenfolge all dieser Anzahlen, die man mit bezeichnet.József Sándor et al.: Handbook of Number Theory. I, Kapitel=IX.9. 2006, S. 326

Diese Zahlenfolge beginnt mit folgenden Anzahlen: ().

Es ist also – etwa – , denn man hat ja die Gleichungen , wobei weitere Möglichkeiten, mit verschiedenen Primzahlen aufzusummieren offenbar nicht gegeben sind.

Darüber hinaus hat man Resultate über das asymptotische Verhalten der Zahlenfolge wie etwa das folgende, welches auf Klaus Friedrich Roth und George Szekeres zurückgeht: . steht für das landausche Groß-O-Symbol.

Literatur

Einzelnachweise

Anmerkungen

Richert