mini|Einfache Kausalmengen mit endlicher Kardinalität. In diesen Hasse-Diagrammen einiger Beispiele sind nur die Beziehungen zwischen den nächsten Nachbarn dargestellt. Die übrigen Beziehungen können aus der Transitivität abgeleitet werden. Eine Kausalmenge ( oder kurz causet. In: Wiktionary (en)) ist definiert als eine lokal endliche (finite) Halbordnung (). Eine Kausalmenge ist damit eine Menge versehen mit einem speziellen Typ einer Teilordnungsrelation bzw. . Diese Teilordnungsrelation ist durch das spezielle Axiom der lokalen Endlichkeit (Finitheit) gekennzeichnet. Dieses Axiom fordert, dass sich zwischen zwei beliebigen Elementen gemäß der Teilordnungsrelation höchstens endlich viele andere Elemente befinden dürfen. Da es für die Trägermenge als Ganzes keine Einschränkungen bezüglich ihrer Mächtigkeit (Mathematik) gibt, verhält sich eine Kausalmenge nur lokal diskret.
Der Begriff der Kausalmenge ist vom englischen Begriff , ‚Ursachenmenge‘ zu unterscheiden. Der Begriff Ursachenmenge wird auch von der , ‚Effektmenge‘ unterschieden und im Englischen manchmal mit dem Terminus bezeichnet.
Die Kausalmengentheorie (, CST) ist ein bedeutender Ansatz für eine Theorie der Quantengravitation und beruht auf dem Konzept der Kausalmengen mit zwei zusätzlichen, grundlegenden Annahmen: Die physikalische Raumzeit ist kein Kontinuum im Sinn der Physik und damit auch kein Modell eines mathematischen Kontinuums, sondern diskret. Die Raumzeit wird damit als Zusammenfassung diskreter Raumzeitpunkte angenommen. Die Raumzeitpunkte werden auch Ereignisse oder genannt. Diese Ereignisse werden als Elemente einer Kausalmenge, genauer ihrer Trägermenge , interpretiert. Diese Raumzeitereignisse sind durch die genannte lokal endliche Halbordnungsrelation miteinander verbunden. Diese Halbordnungsrelation ergibt ein mathematisches Modell der Kausalitätsbeziehungen zwischen ihnen.
Geschichte und Motivation Nach früheren Vorschlägen von Gerard ’t Hooft und Jan Myrheim aus dem Jahr 1978. wurden Kausalmengen 1987 von Rafael D. Sorkin definiert und von ihm und seinen Mitarbeitern im Hinblick auf ihre physikalische und kosmologische Anwendung untersucht. Diese Studien basieren auf dem Theorem von Malament (David B. Malament, 1977, s. u.). Sorkin ist nach wie vor Hauptbefürworter dieses Ansatzes und hat den Slogan „Ordnung + Zahl = Geometrie“ (en. ) geprägt, um diese These zu charakterisieren. Nach dieser Annahme ist die Raumzeit grundsätzlich diskret, während die lokale Lorentzinvarianz erhalten bleibt.
Wird die weiter unten vorgestellte kausale Ordnungsstruktur der Punkte verwendet und wird dann eine hinreichend dichte Menge gleichmäßig verteilter Zufallspunkte in einem hinreichend großen Volumen einer Mannigfaltigkeit verteilt, so kann damit die Raumzeit-Geometrie der Mannigfaltigkeit abgeleitet werden. Die Idee besteht nun darin, den Begriff der Kausalmenge als lokale und diskrete relationale Struktur zu axiomatisieren. Anschließend soll aus dieser Struktur die geometrische Struktur der kontinuierlichen Raumzeit als Lorentz-Mannigfaltigkeit bzw. Einstein-Mannigfaltigkeit gewonnen werden. Dabei gibt es zwei im Detail unterschiedliche Ansätze: Schwache Kausalmengen-Hypothese: Die Geometrie des Raums wird durch die kausalen Beziehungen zwischen den Ereignissen bestimmt. Starke Kausalmengen-Hypothese: Der Raum und die Materie in diesem Raum wird durch die kausalen Beziehungen zwischen den Ereignissen bestimmt. Beide Methoden liefern nur Raumzeiten, in denen keine geschlossenen Weltlinien auftreten, so wie sie im Gödel-Universum vorkommen können. Somit kann bei der Verwendung von Kausalmengen auch kein Großvaterparadoxon gebildet werden.
Im Folgenden werden Kausalmengen als Halbordnungen definiert, in denen alle beidseitig beschränkten Intervalle endlich sind.
Formale Definition mini|Eine Kausalmenge mit 20 Elementen, entsprechend ihrer Ordnungsstruktur vertikal angeordnet. Kausalmengen (englisch ) werden definiert als lokal endliche Halbordnungen (englisch ). Die in der Literatur üblichen Definitionen der Kausalmengen fassen diese (genauso wie die Halbordnungen) entweder als irreflexiv oder reflexiv auf. Je nach Kontext ist die eine oder die andere der beiden Konventionen praktischer. Wie bei Halbordnungen sind beide Varianten jedoch äquivalent und können ineinander übergeführt werden.
Die Kausalbeziehung einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit (ohne geschlossene Kausalkurven) erfüllt als Halbordnung alle Bedingungen bis auf die jeweils letzte. Es ist die Bedingung der lokalen Endlichkeit, die die Diskretheit der Raumzeit einführt.
Irreflexive Kausalmengen Eine irreflexive Kausalmenge oder kausale Menge ist eine Menge mit einer binären Relation , so dass folgende Axiome erfüllt sind:
Irreflexivität: , d. h.: ; Transitivität: ; Lokale Endlichkeit: ist eine endliche Menge, formal: .
Die ersten beiden Axiome definieren eine strikte (strenge) partielle Ordnung (strenge Halbordnung, en. ).
In diesem Fall ist per Definition eine Abkürzung für ‚oder‘ (formal: ).
Wenn zwei voneinander verschiedene Elemente bzgl. in keiner solchen Relation zueinander stehen, d. h. wenn weder , noch oder , dann drückt man dies gelegentlich durch aus.
Statt schreibt man oft auch (Umkehrrelation).
Reflexive Kausalmengen Eine reflexive Kausalmenge oder kausale Menge ist eine Menge mit einer binären Relation , so dass folgende Axiome erfüllt sind:
Reflexivität: ; Antisymmetrie: und impliziert , formal: ; Transitivität: ; Lokale Endlichkeit: ist eine endliche Menge, formal etwa: .
Die ersten drei Axiome definieren eine reflexive partielle Ordnung (Halbordnung, en. ).
In diesem Fall ist per Definition eine Abkürzung für ‚und‘ (formal ).
In diesem Fall ist gleichbedeutend mit ‚weder‘ ‚noch‘ .
Statt schreibt man oft auch (Umkehrrelation).
Ordnungskegel Die Vergangenheit (en. ) und Zukunft (en. ) eines Elementes definiert man
und
Ordnungstheoretisch handelt es sich dabei um Ordnungskegel.
Wie bei Lorentz-Mannigfaltigkeiten (siehe Kausalstruktur) definiert man als Alexandrow-Mengen (en. ) die Intervalle der Art
Für Teilmengen sei in Analogie zur Notation bei Lorentz-MannigfaltigkeitenEs wird hier im Wesentlichen die Notation von Fay Dowker (2017) benutzt. In geringfügiger Abweichung dazu sind für Vergangenheit und Zukunft von Mengen für das Argument eckige statt runde Klammern benutzt, so wie bei den Lorentz-Mannigfaltigkeiten. Siehe Kausalstruktur §Vergangenheit und Zukunft, für und §Weitere Begriffsdefinitionen für . Damit wird Konsistenz mit verwandten Artikeln hergestellt und Dowkers „“ (Dowker selbst) vermieden.
und
Per Definition ist und (Einermengen).
Weitere Begriffsbildungen Weitere Begriffsbildungen gemäß Fay Dowker (2017):
Eine Vergangenheitsmenge ist eine Teilmenge , die ihre eigene Vergangenheit enthält. Es gilt dann
Eine Zukunftsmenge ist eine Teilmenge , die ihre eigene Zukunft enthält. Es gilt dann .
Ein Teilstamm (en. ) ist eine endliche Vergangenheitsmenge (Vergangenheitsmenge mit endlicher Mächtigkeit).
Ein Post ist ein Element, das mit jedem anderen Element der Menge kausal verbunden ist.
Weitere Begriffe wie partieller Post und partieller Break findet man bei F. Dowker (2017).
Satz von Malament Ein zentraler Satz der oben genannten Kausalmengentheorie wurde 1977 von David B. Malament veröffentlicht. Der Satz von Malament lautet:
Sei eine bijektive Abbildung zwischen zwei Raumzeiten und . Wenn sowohl die Funktion und auch dessen Umkehrfunktion bei einer kontinuierlichen zeitartigen Weltlinie die kausale Struktur und damit auch die zeitliche Ordnung von Ereignissen entlang dieser Kurve erhält, so ist ein Homomorphismus.
Gemäß früheren Ergebnissen von Stephen Hawking, P. J. McCarthy, Andrew R. King und Alexander V. Levichev sind und dann auch konform isometrisch und ein konformer Isomorphismus.
Der konforme Faktor bleibt dabei zunächst unbestimmt. Er hängt mit dem Volumen der Regionen in der Raumzeit zusammen. Dieser Volumenfaktor lässt sich ermitteln, indem für jeden Raumzeitpunkt ein Volumenelement angegeben wird. Das Volumen einer Raumzeitregion könnte dann durch Zählen der Anzahl der Punkte in dieser Region ermittelt werden, wenn eine lokal diskrete Kausalmenge zugrunde gelegt wird.
Einbettung in ein Kontinuum mini|Hasse-Diagramm einer Kausalmenge, die sich treu in einen Kausaldiamanten in einem zweidimensionalen Minkowski-Raum einbettet. Ein wesentlicher Schritt in der Theorie ist die Einbettung von Kausalmengen in eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit. Eine solche Einbettung wäre eine Karte, die Elemente der Kausalmenge in Punkte der Mannigfaltigkeit abbildet, so dass die Ordnungsbeziehung der Kausalmenge mit der kausalen Ordnung (Kausalstruktur) der Mannigfaltigkeit übereinstimmt (Ordnungshomomorphismus).
Im Gegensatz zu gewöhnlichen Halbordnungen ist bei Kausalmengen aber noch ein weiteres Kriterium erforderlich, damit die Einbettung wirklich geeignet ist. Nur wenn die Anzahl der Elemente der Kausalmenge, die auf eine Region der Mannigfaltigkeit abgebildet werden, im Durchschnitt proportional zum Volumen der Region ist, wird die Einbettung als treu oder getreu (en. , vgl. strukturtreu, verträglich) bezeichnet. In diesem Fall kann man die Kausalmenge als „mannigfaltig“ bezeichnen. Die Modellierung der Raumzeit als Kausalmenge verlangt daher einen Fokus auf diejenigen Kausalmengen zu setzen, die „mannigfaltig“ sind. Allerdings ist dies eine schwer zu bestimmende Eigenschaft.
Eine zentrale Vermutung des Kausalmengenprogramms ist, dass dieselbe Kausalmenge nicht getreu in zwei verschiedene Raumzeiten eingebettet werden kann, wenn diese sich nicht „auf großen Skalen ähnlich“ sind. Diese wird als Hauptvermutung (d. h. grundlegende Vermutung, en. ) bezeichnet. Weil man dazu eindeutige Kriterien braucht, um zu entscheiden, wann zwei Raumzeiten „auf großen Skalen ähnlich“" sind, ist es jedoch schwierig, diese Vermutung genau zu definieren.
Sprinkling
Die Frage, ob eine Kausalmenge in eine Mannigfaltigkeit eingebettet werden kann, lässt sich auch anders beantworten. Eine kausale Menge kann erzeugt werden, indem Punkte in eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit anschaulich gesprochen eingestreut (englisch „sprinkling“) oder herauspickt werden. Indem Punkte proportional zum Volumen der Raumzeitregionen gestreut werden und die kausalen Ordnungsbeziehungen in der Mannigfaltigkeit auf die Menge der gestreuten Punkte übertragen werden, wird eine Ordnungsrelation zwischen den Punkten induziert. Diese ist dann eine lokal finite Halbordnung und damit eine Kausalmenge. Sie kann gemäß Konstruktion getreu in die Mannigfaltigkeit eingebettet werden.
Um die Lorentzinvarianz zu gewährleisten, muss diese Streuung der Punkte zufällig mit Hilfe eines Poisson-Prozesses erfolgen. Die Wahrscheinlichkeit, dass Punkte in eine Region mit dem Volumen gestreut werden, ist dabei
(Poisson-Verteilung),
wobei die Dichte der Berieselung ist. Bei der Verteilung von Punkten in Form eines regelmäßigen Gitters wäre die Anzahl der Punkte nicht proportional zum Volumen der Region. Dem entgeht man durch das zufällige Einstreuen der Punkte aufgrund der Isotropie. Man beachte, dass die Gestalt und Ausrichtung des Volumens zum Gitter willkürlich erfolgen kann.
Geometrie mini|hochkant=0.6|Künstlich erzeugte Kausalmengen, um Höhe und Breite einer Kurvenlängenverteilung nachzubilden. Einige geometrische Konstrukte in Mannigfaltigkeiten lassen sich auf Kausalmengen übertragen. Einen Überblick über diese Konstruktionen findet man bei Brightwell (1991).
Geodäten
Ein Link in einer Kausalmenge nennt man ein Paar von Elementen , so dass ein direkter Nachfolger (oberer Nachbar) von (oder umgekehrt ausgedrückt, ein direkter Vorgänger (unterer Nachbar) von ) ist. D. h. es gilt , aber ohne dass es ein gäbe mit