Kausalstruktur

In der mathematischen Physik beschreibt die Kausalstruktur einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit die kausalen Beziehungen (Relationen) zwischen den Raum-Zeit-Punkten (Ereignissen, ) der Mannigfaltigkeit.

In der modernen Physik (insbesondere der allgemeinen Relativitätstheorie) wird die Raumzeit durch eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit dargestellt. Die kausalen Beziehungen zwischen Punkten in dieser Mannigfaltigkeit beschreiben, welche Ereignisse in der Raumzeit welche anderen Ereignisse beeinflussen können.

Die kausale Struktur einer beliebigen (im Allgemeinen nicht ebenen) Lorentzschen Mannigfaltigkeit ist infolge der Krümmung wesentlich kom­pli­zierter als im ebenen Fall, d. h. im Fall eines Minkowski-Raums. Die Diskussion der Kausalstruktur solcher Mannigfaltigkeiten erfolgt über glatte, d. h. differenzierbare, Kurven, die Paare von Raumzeitpunkten (Ereignissen) verbinden. Bedingungen für die Tangentenvektoren der Kurven definieren dann die kausalen Beziehungen.

Tangentenvektoren 250px|mini|Unterteilung der Minkowski-Raumzeit in Be­zug auf einen Punkt in vier disjunkte Mengen. Der Lichtkegel, die kausale Zukunft (Vorwärts-Lichtkegel), die kausale Vergangen­heit (Rückwärts-Lichtkegel) und das (po­ten­ti­ell potentiell gleich­zeitige) „Anderswo“. Die Terminologie wird in diesem Artikel definiert.

Sei eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit für die Metrik auf dem Träger (Menge der Raumzeitpunkte). Als Signatur für die Metrik wird im weiteren Verlauf verwendet.

Der Tangentialraum (auch kurz ) an im (Raum-Punkt (Ereignis) ist dann ein Minkowski-Vektorraum von Vierervektoren.Beispiele für Vierervektoren sind Vierer­geschwindigkeit und Viererimpuls. Da das durch die Metrik auf diesem Vektorraum induzierte Pseudoskalarprodukt nicht positiv definit ist, können die Tangenten- oder Vierervektoren wie folgt klassifiziert werden: Nullvektor ( ) wenn lichtartig (englisch  ) wenn und zeitartig wenn raumartig wenn Anmerkungen: Lichtartige Vektoren (mit ) werden auch als isotrop bezeichnet. Die englische Bezeichnung wird allerdings deutsch oft ebenfalls als Nullvektor (im weiteren Sinn) übersetzt. Licht- oder zeitartige Vektoren (mit ) werden auch als nicht-raumartig oder kausal bezeichnet.

Die kanonische Lorentzsche Mannigfaltigkeit ist die ebene Minkowski-Raumzeit, wobei ein vierdimensionaler pseudoeuklidischer Raum ist, d. h. ≅ mit der (flachen) Min­kow­ski-Metrik . Die Bezeichnungen für die Klassen der Tangentenvektoren stammen aus der Physik dieses Modells. Die kausalen Be­ziehungen zwischen Punkten sind in der ebenen Minkowski-Raumzeit besonders einfach, weil der Tangentenraum ebenfalls isomorph zum ist und daher die Raumzeitpunkte nach Festlegung eines Ursprungs mit Tangentenvektoren identifiziert werden können. Der Vierervektor mit Koordinaten wird nach dem Vorzeichen von klassifiziert, wobei die kartesischen Koordinaten im dreidimensionalen Raum, die Zeit und c die universelle Grenzgeschwindigkeit (Vakuumlichtgeschwindigkeit – bei natürlichen Einheiten: ) ist. Aufgrund der Invarianz der Metrik ist die Klassifizierung jedes Vektors im Raum unabhängig von der Wahl der Bezugssysteme, wenn diese durch eine Lorentz-Transformation miteinander verbunden sind.Das gilt nicht für die Koordinaten­darstellung von Raumzeitpunkten, da die allgemeine Poincaré-Transformation den Ursprung verschieben kann.

Zeitliche Orientierbarkeit An jedem Punkt (Ereignis) in können die zeitartigen Tangentenvektoren im Tangentenraum des Punktes in zwei Klassen unterteilt werden. Zu diesem Zweck definiert man zunächst eine Äquivalenzrelation für Paare zeitartiger Tangentenvektoren:

Seien und zwei zeitartige Tangentenvektoren an einem Punkt . Man nennt und äquivalent (geschrieben ) genau dann, wenn .

Es gibt dann zwei Äquivalenzklassen, die unter sich alle zeitartigen Vektoren (und damit Tangentenvektoren am Punkt ) aufteilen. Es wird dann eine dieser Äquivalenzklassen willkürlich als zukunftsgerichtet (en. ) und die andere als ver­gangen­heits­gerichtet (en. ) bezeichnen. Physikalisch gesehen entspricht diese Bezeichnung der beiden Klassen von zukunfts- und vergangenheitsgerichteten zeitlichen Vektoren der Wahl eines Zeitpfeils (bei Tangentenvektoren am jeweiligen Punkt ). Die Bezeichnungen zukunfts- und vergangenheitsgerichtet können durch stetige Fortsetzung auf lichtartige Vektoren ausgedehnt werden. Beide Äquivalenzklassen zeitartiger Vektoren sind Zu­sam­men­hangs­komponenten, dasselbe gilt für die lichtartigen Vektoren und für die raumartigen Vektoren in Gesamtheit.

Ein Beispiel für einen zukunftsgerichteten Vierervektor ist der Viererimpuls.

Eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit ist zeitorientierbar (en. ), wenn über die gesamte Mannigfaltigkeit eine stetige Bestimmung von zukunftsgerichteten und vergangenheitsgerichteten für nicht-raumartige Vektoren vorgenommen werden kann. Nicht jede Lorentzsche Mannigfaltigkeit ist zeitorientierbar.

Wege und Kurven Wege bzw. KurvenDie Parameterdarstellung einer Kurve nennt man Weg. Im Gegensatz zum Weg kommt es bei der Kurve nicht darauf an, wie „schnell“ oder „langsam“ sie an einem bestimmten Punkt durchlaufen wird. Kurven sind daher bestimmte Äquivalenzklassen solcher Wege. Dabei werden bestimmte Bedingungen an einen Parameterwechsel gestellt, der zwei Wege derselben Äquivalenzklasse (d. h. zwei Parameterdarstellungen derselben Kurve) ineinander überführt. Bei einer gerichteten oder orientierten Kurve verlangt man etwa, dass diese Parameterwechsel monotone Abbildungen sind. in der Mannigfaltigkeit werden als zeitartig, raumartig, lichtartig, kausal bezeichnet, wenn die Tangentialvektoren an den Weg bzw. die Kurve auf der gesamten Länge zur entsprechenden Kategorie gehören. Im Detail:

Ein Weg (in der Physik auch Pfad genannt) in ist eine stetige Abbildung , wobei ein nicht entartetes Intervall (d. h. eine zusammenhängende Menge von mehr als einem Punkt) in ist. Bei einem glatten Weg ist μ eine angemessene Anzahl von Malen mit bzw. beliebig oft, d. h. ) stetig differenzierbar. Ein regulärer Weg hat eine nicht verschwindende Ableitung.

Eine Kurve in ist das Bild eines Wegs oder – kategorientheoretisch äquivalent – eine Äquivalenzklasse von Wegen mit gleicher Spur (Bildmenge), die durch Re-Para­metrisierung verwandt sind. Im allgemeinsten Fall müssen diese Parametertransformationen Homöomorphismen (umkehrbar stetig) sein, bei glatten Kurven Diffeomorphismen, bei gerichteten (orientierten) Kurven strikt monoton steigend sein. Für gerichtete Kurven ist sinnvollerweise vorauszusetzen, dass zeitorientierbar ist.

Glatte reguläre Kurven (oder Wege) in können anhand ihrer Tangentenvektoren klassifiziert werden. Eine solche Kurve ist chronologisch (oder zeitartig), wenn der Tangentenvektor an allen Punkten der Kurve zeitartig ist. Eine solche Kurve wird auch Weltlinie oder Nullgeodäte genannt. lichtartig (en. ) oder Nullkurve, wenn der Tangentenvektor an allen Punkten der Kurve lichtartig (isotrop, en. ) ist. raumartig, wenn der Tangentenvektor an allen Punkten der Kurve raumartig ist. kausal (oder nicht raumartig), wenn der Tangentenvektor an allen Punkten der Kurve zeitartig oder lichtartig ist.

Die Anforderungen der Regularität und Nicht-Entartung der Wege stellen sicher, dass geschlossene kausale Kurven (wie solche, die aus einem einzigen Punkt bestehen) nicht automatisch von allen Raumzeiten zugelassen werden (nur von den nicht-zeit­orientier­baren).

Wenn die Mannigfaltigkeit zeitorientierbar ist, können die kausalen (nicht-raumartigen) orientierten Kurven je nach ihrer Orientierung in Bezug auf die Zeit weiter klassifiziert werden. Eine kausale (zeit- oder lichtartige) orientierte Kurve in ist zukunftsgerichtet, wenn für jeden Punkt der Kurve der Tangentenvektor zukunftsgerichtet ist. vergangenheitsgerichtet, wenn für jeden Punkt der Kurve der Tangentenvektor vergangenheitsgerichtet ist.

Diese Definitionen gelten nur für kausale (nicht-raumartige) orientierte Kurven, da nur diesen eine Orientierung in Bezug auf die Zeit zugeordnet werden kann.

Eine geschlossene zeitartige Kurve (geschlossene Weltlinie oder geschlossene Nullgeodäte, en. , CTC) ist eine geschlossene Kurve, die überall in die Zukunft gerichtet und zeitartig ist, oder überall in die Vergangenheit gerichtet und zeitartig. Eine geschlossene Nullkurve ist eine geschlossene Kurve, die überall zukunftsgerichtet und lichtartig ist, oder überall ver­gangen­heits­gerichtet und lichtartig.

Geschlossene Weltlinien gibt es etwa im Gödel-Universum (Kurt Gödel, 1949).

Kausalrelationen mini|Die Transitivitätsbedingung x≺y,y≺z⇒x≺z wird durch die Kausalitätsbeziehung ≺ in jeder Lorentzschen Raumzeit erfüllt.

Es gibt in der Lorentz-Mannigfaltigkeit mehrere Arten von kausalen Relationen zwischen Raumzeitpunkten (Ereignissen) und :

liegt zeitlich vor (oft als bezeichnet) genau dann, wenn es eine in die Zukunft gerichtete chronologische (zeitartige) Kurve von nach gibt. geht streng kausal vor (oft als bezeichnet) genau dann, wenn es eine in die Zukunft gerichtete kausale (nicht raum­artige) Kurve von nach gibt. geht kausal vor (oft als oder bezeichnet) genau dann, wenn streng kausal vor geht oder ist. horismos (oft als oder bezeichnet), wenn oder eine zukunftsgerichtete Nullkurve von nach existiert.

Anmerkungen: Die kausale Relation alias und die horismos-Relation alias sind reflexiv. Die Mannigfaltigkeit heißt „nicht total bösartig“ (en. ), wenn es (Raumzeit-)Punkte gibt, für die nicht gilt: . In Zeichen: Sie heißt chronologisch, wenn es keine geschlossenen zeitartigen (chronologischen) Kurven gibt, d. h. wenn die chronologische Relation irreflexiv ist, also für alle (Raumzeit-)Punkte die Relation nicht erfüllt ist. In Zeichen: Sie heißt kausal, wenn es keine geschlossenen kausalen (nicht-raumartigen) Kurven gibt, d. h. wenn für alle (Raumzeit-)Punkte gilt: Aus und folgt . In Zeichen: . Im ebenen Fall eines Minkowski-Raumes sind diese Umstände alle trivial und die angegebenen Relationen reflexive oder irreflexive Halbordnungen. Für Lorentz-Mannigfaltigkeiten ist das aber keine Selbstverständlichkeit.

Die Bezeichnung horismos leitet sich ab von und war die Bezeichnung für ein kaiserliches Dekret (Byzantinisches Reich, bekannt seit dem späten 11. Jhd.), es war ein Synonym für Prostagma.

Vergangenheit und Zukunft mini|hochkant=1.3|Ein gestreckter Zukunfts­licht­kegel

Wenn eine stückweise glatte zeitartige Kurve zwischen zwei Punkten existiert, liegt ein Punkt in der Zukunft des anderen und dieser in der Vergangenheit des ersteren.

Für einen (Raumzeit-)Punkt in der Mannigfaltigkeit definiert man nach Penrose die folgenden Mengen:

Die chronologische Zukunft (auch zeitartige Zukunft) von , in Zeichen , ist die Menge aller Punkte in , bei denen chronologisch vor ist:

Die chronologische Vergangenheit (auch zeitartige Vergangenheit) von , in Zeichen , als die Menge aller Punkte in , bei denen chronologisch vor ist:

Damit ist ist der Inhalt des Zukunfts-Lichtkegels, die Menge aller Punkte , die von aus mit einer zukunftsgerichteten stückweise glatten zeitartigen Kurve (Weltlinie) erreicht werden können. Analog ist der Inhalt des Vergangenheits-Lichtkegels. Der Inhalt des Doppel-Lichtkegels ist damit Punkte in können von aus durch eine in die Zukunft gerichtete Weltlinie, die ganz im Innern des Lichtkegels liegt, erreicht werden.

Ähnlich definiert man: Die kausale Zukunft (auch absolute Zukunft genannt) von , bezeichnet mit , ist die Menge aller Punkte in , bei denen kausal vorausgeht vor :

Die kausale Vergangenheit (auch absolute Vergangenheit genannt) von , bezeichnet als , ist die Menge aller Punkte in , bei denen kausal vorausgeht vor :

Die kausale Zukunft ist daher die Menge aller Punkte, die mit stückweise glatten nicht-raumartigen Kurven erreicht werden. Entsprechend definiert kausale Vergangenheit .