Die Riemannsche Zeta-Funktion ist eine mathematische Funktion, die eine besonders wichtige Rolle in der Zahlentheorie spielt. Für Werte kann sie definiert werden durch die Reihe

In diesem Falle streben die einzelnen Summanden schnell genug gegen 0, sodass die Reihe gegen einen festen eindeutigen Wert konvergiert. Es ist ein klassisches mathematisches Problem, welche Werte die Zeta-Funktion an speziellen Stellen besitzt. Ein Beispiel hierfür ist das Basler Problem, das nach dem exakten Wert der Reihe aller kehrwertigen Quadratzahlen fragt, ergo dem Wert :

Ein geschlossenes Ergebnis konnte 1734 durch Leonhard Euler gefunden werden. Mit der Kreiszahl erhält man .

Durch Erweiterung der Summanden in den Bereich der komplexen Zahlen über die komplexe Exponentialfunktion, mittels , kann die Zeta-Funktion auf die Halbebene auf natürliche Weise ausgeweitet werden. Durch analytische Fortsetzung gelingt sogar eine Fortsetzung zu einer holomorphen Funktion auf alle komplexen Stellen mit Ausnahme von 1. Somit ergeben auch Werte wie ... einen eindeutigen Sinn, und sind für bestimmte zahlentheoretische Fragestellungen von Interesse.

Funktionswerte für gerade natürliche Zahlen Eigenschaften Die Funktionswerte der Riemannschen Zeta-Funktion für positive gerade Zahlen haben eine enge Beziehung zur Kreiszahl . Für eine positive ganze Zahl ist

wobei die -te Bernoulli-Zahl bezeichnet.T. M. Apostol: Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag, New York / Heidelberg / Berlin 1976, S. 266. Diese Formel wurde zuerst von Leonhard Euler entdeckt. Somit ist für ein rationales Vielfaches von Daraus folgt sofort mit dem Satz von Lindemann-Weierstraß, dass jeder Wert für natürliche Zahlen irrational und sogar transzendent ist.Ferdinand Lindemann: Über die Ludolph’sche Zahl. In: Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 2 (1882), S. 679–682.

Herleitung zu Eulers Formel Euler wurde bei seinen Überlegungen durch die Taylor-Reihe des Kardinalsinus inspiriert. Über Vergleich der Koeffizienten auf beiden Seiten, wobei auf der rechten Seite zunächst ausmultipliziert,

folgerte er beispielsweise

Ein alternativer und direkterer Zugang zu den Werten an geraden Stellen liefert die Kotangensfunktion. Aus deren unendlicher Partialbruchzerlegung ergibt sich einerseits die Potenzreihe

andererseits folgt über den komplexen Sinus und Kosinus

Durch Koeffizientenvergleich beider Potenzreihen ergibt sich Eulers Formel.J.-P. Serre: A course in arithmetic, Springer-Verlag New York (1973), ISBN 978-0-387-90040-7, S. 91.

Weitere Formeln Es gilt die Rekursionsformel

für natürliche Zahlen , die Euler noch nicht bekannt war.Reinhold Remmert: Funktionentheorie I. Springer-Verlag, Berlin et al. 1984, ISBN 3-540-12782-8, S. 234.

Anwendung Obgleich die Bernoulli-Zahlen rational sind, ist ihre explizite Berechnung für größer werdende Indizes schwierig, da zunächst nur aufwändige Rekursionsformeln vorliegen. Für lange Zeit galt daher Eulers Formel für die Werte (kombiniert mit dem Staudt-Clausenschen Satz) als beste Grundlage zur Berechnung der Werte . Jedoch fand David Harvey im Jahr 2008 einen etwas schnelleren Algorithmus, der ohne die Verwendung der Zeta-Funktion auskommt.D. Harvey: A multimodular algorithm for computung Bernoulli numbers, Oktober 2008, (arXiv).

Funktionswerte für ungerade natürliche Zahlen Über den Wert der Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen ist nur sehr wenig bekannt. Das hat den Grund, dass alle bekannten Verfahren zur expliziten Bestimmung von Werten mit eigentlich den Wert der unendlichen Reihe

ermitteln, die für gerade Werte den Wert hat, für ungerade aber durch Herauskürzen der Summanden trivialerweise 0 ist, womit die wesentlichen Informationen verloren gehen. Dennoch weiß man zum Beispiel, dass die Apéry-Konstante irrational ist, was 1979 von dem französischen Mathematiker Roger Apéry bewiesen wurde.Roger Apéry: Irrationalité de et . Astérisque 61, 1979, S. 11–13. Sein Beweis fand in Mathematikerkreisen große Beachtung. So bezeichnete Don Zagier Apérys Ausführungen als „Sensation“.J. H. Brunier, G. van der Geer, G. Harder, D. Zagier: The 1-2-3 of Modular Forms, Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-540-74117-6, doi:10.1007/978-3-540-74119-0, S. 64.

Apéry-Reihen Im Wesentlichen verwendete Apéry für den Beweis der Irrationalität von die rasch konvergente Reihe

mit rationalen Gliedern.S. R. Finch: Mathematical Constants, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Press, 2003, S. 43. Es gilt hingegen auch

Reihen dieser Art werden auch als Apéry-Reihen bezeichnet.Weiping Wanga, Ce Xub: Alternating multiple zeta values, and explicit formulas of some Euler-Apéry-type series. (PDF; 255 kB). In dem Wunsche, Apérys Beweismethode gegebenenfalls auch auf andere Zeta-Werte anwenden zu können, sind diese bis heute Gegenstand intensiver Forschung. Beiträge lieferten unter anderem Ablinger, Bailey, Borwein, Sun und Zucker.J. Ablinger: Discovering and proving infinite binomial sums identities. Experiment. Math. 26 (1) (2017) 62–71.D. H. Bailey, J. M. Borwein, D. M. Bradley: Experimental determination of Apéry-like identities for ζ(2n + 2). Experiment. Math. 15 (3) (2006) 281–289.Z.-W. Sun: A new series for and related congruences. Internat. J. Math. 26 (8) (2015) 1550055.I. J. Zucker: On the series and related sums. J. Number Theory 20 (1) (1985) 92–102. Beim Versuch einer Verallgemeinerung stößt man natürlicherweise auf Verbindungen zu allgemeinen harmonischen Summen und multiplen Polylogarithmen. Doch trotz Formeln wie zum BeispielJ. Ablinger: Discovering and proving infinite binomial sums identities. Experiment. Math. 26 (1) (2017), S. 62.

steht der Durchbruch bis heute aus.

Lineare Unabhängigkeit über den rationalen Zahlen Es ist immerhin bekannt, dass unendlich viele Werte irrational sind. Genauer lässt sich sagen, dass es zu jedem ein gibt, sodass für alle die Ungleichung

gilt. Aus dieser Ungleichung geht hervor, dass unendlich viele Werte der Menge linear unabhängig über dem Körper sind. Das bedeutet aber zwangsläufig, dass die betroffenen Werte alle irrationale Zahlen sein müssen. Wadim Zudilin konnte sogar zeigen, dass mindestens einer der Werte , , und irrational sein muss.

Perioden zu Eisensteinreihen Ramanujan gab die für ganze und reelle Zahlen mit gültige IdentitätS. Ramanujan: Notebooks. Tata Institute of Fundamental Research, Bombay 1957 (2. Auflage 2012), S. 173.

an. Das hintere Polynom in und mit rationalen Koeffizienten wird auch Ramanujan-Polynom genannt. Dies impliziert gewissermaßen eine engere Verwandtschaft zwischen den Werten und . Durch Einsetzen spezieller Werte findet sich daraus eine reiche Fülle expliziter Formeln. Setzt man beispielsweise und ein, so entsteht die um 1900 von Matyáš Lerch angegebene ReiheMatyáš Lerch: Sur la fonction ζ(s) pour les valeurs impaires de l’argument. Jornal de sciencias mathematicas e astronomicas 14, 1900, S. 65–69 (französisch; ).

und allgemeiner eine Darstellung, die Zeta-Werte gerader Argumente mit einschließt:Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: Computational strategies for the Riemann zeta function.] (PDF; 310 kB), 11. Oktober 2012, S. 270.

Ramanujans Formel lässt sich zum Beispiel durch Anwendung des Residuensatzes auf die Funktion zeigen. Sie findet jedoch ihren tieferen Ursprung in der Tatsache, dass die auf der oberen Halbebene definierten Funktionen

gerade die Eichler-Integrale zu Eisensteinreihen von Gewicht zur vollen Modulgruppe sind.S. Gun, M. R. Murty, R. Rath: Transcendental values of certain Eichler integrals. Bull. Lond. Math. Soc. 43(5), S. 940 (2011). Insbesondere haben sie das von Ramanujan beschriebene Transformationsverhalten (wenn man zum Beispiel mit setzt, wird der Bezug zur modularen Sprache deutlicher) und die Koeffizienten des Ramanujan-Polynoms sowie die Zeta-Werte an ungeraden Stellen treten als sog. Perioden der jeweiligen Eisensteinreihe auf. 2011 zeigten Murty, Smyth und Wang, dass es mindestens eine algebraische Zahl mit gibt, sodass

Gleichzeitig bewiesen sie aber, dass die Menge

höchstens eine algebraische Zahl enthält, wobei den algebraischen Abschluss von bezeichnet.M. Ram Murty, C. Smyth, R. J. Wang: Zeros of Ramanujan polynomials. J. Ramanujan Math. Soc. 26 (2011), no. 1, 107–125. Es ist bis heute ungeklärt, ob einer der Werte als rationales Vielfaches von darstellbar ist. Viele Mathematiker halten dies jedoch für äußerst unwahrscheinlich. Nach einer Vermutung von Kohnen, die 1989 ebenfalls im Zusammenhang mit Perioden von Modulformen formuliert wurde, sind alle Quotienten mit transzendente Zahlen.W. Kohnen: Transcendence conjectures about periods of modular forms and rational structures on spaces of modular forms. Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.) 99 (1989), S. 231–233.

Numerische Berechnung Gerade für kleinere Werte ist die Dirichlet-Reihe zur schnellen numerischen Berechnung der Werte nicht optimal. Bei der Suche nach schnell konvergenten Reihen machte sich Bailey durch Angabe verschiedener BBP-Formeln verdient.D. H. Bailey: A Compendium of BBP-Type Formulas for Mathematical Constants, 2000, (PDF) Exemplare für solche existieren für und . Ein Beispiel ist die äußerst schnell konvergente Reihe

Andere schnell konvergente Reihen, verfügbar für alle Werte , stammen von Wilton:J.R. Wilton: A proof of Burnside’s formula for log Γ (x + 1) and certain allied properties of Riemann’s ζ-function. Messenger Math. 52, 90–93 (1922/1923)

Hierbei bezeichnet die -te harmonische Zahl. Zu beachten ist hier allerdings, dass dies eine rekursive Formel ist, welche genaue Kenntnis der Werte (d. h. der Bernoulli-Zahlen) erfordert.

Die Dezimalstellen einiger Werte sind der folgenden Tabelle zu entnehmen. 2n + 1ζ(2n + 1)OEIS Folge31,2020569031595942853997381…51,0369277551433699263313654…71,0083492773819228268397975…91,0020083928260822144178527…111,0004941886041194645587022…131,0001227133475784891467518…151,0000305882363070204935517…171,0000076371976378997622736…191,0000019082127165539389256…

Funktionswerte für nichtpositive ganze Zahlen Im Gegensatz zu den Zeta-Werten positiver ganzer Argumente, über die im Falle der ungeraden Werte bis heute nahezu nichts bekannt ist, sind die Funktionswerte für nichtpositive ganze Zahlen sämtlich bekannt. Man weiß zum Beispiel, dass sie alle rationale Zahlen sind. Sie hängen, wie die Zeta-Werte gerader positiver Zahlen, sehr eng mit den Bernoulli-Zahlen zusammen.

Über die mit einer Hankel-Kontur hergeleiteten Integralformel

folgert man durch Einsetzen einer nicht-positiven ganzen Zahl über den Residuensatz:

Dabei ist die n-te Bernoulli-Zahl. Dies kann ebenfalls mittels Eulers Formel für gerade Funktionswerte und der Funktionalgleichung hergeleitet werden (und umgekehrt).T. M. Apostol: Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag, New York / Heidelberg / Berlin 1976, S. 266.

Unter anderem erhält man damit für alle und:

In seinem BlogTerence Tao: The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation, abgerufen am 23. Dezember 2019, (Link). geht der Mathematiker Terence Tao auf die „Formeln“

detailliert ein. Insbesondere wird erläutert, dass diese Gleichungen außerhalb der traditionellen Berechnung unendlicher Reihen Sinn ergeben und die Ergebnisse zur rechten sogar „eindeutig bestimmbar“ sind. Tao schreibt dazu:

Funktionswerte für halbzahlige Argumente Für die Funktionswerte für halbzahlige Argumente gilt:

  (),

  ().

Ramanujan gab in seinem Tagebuch folgende Reihenidentität an, die den Wert beinhaltet. Für positive reelle Zahlen mit giltG. E. Andrews, B. C. Berndt: Ramanujan’s Lost Notebook. Part IV. Springer, 2013, ISBN 978-1-4614-4080-2, S. 191.