Ein -Analogon (Pl. -Analoga) ist ein mathematischer Begriff, welcher insbesondere in der Kombinatorik auftritt. Ein -Analogon verallgemeinert dabei eine mathematische Aussage mit Hilfe eines zusätzlichen Parameters , so dass man im Fall wieder die ursprüngliche Aussage erhält. Der Begriff spielt auch eine wichtige Rolle in der Theorie der speziellen Funktionen insbesondere in der Theorie der -Polynome.

Elementare Beispiele

Eine natürliche Zahl besitzt das -Analogon

da .

Kombinatorik q-Fakultät Die -Fakultät ist für

und .

Durch ausmultiplizieren erhält man

q-Pochhammer-Symbol Das -Pochhammer-Symbol, auch -Shiftfakultät genannt, ist

oder allgemeiner

q-Binomialkoeffizient Der -Binomialkoeffizient ist

Eigenschaften Es gilt

und

q-Spezielle Funktionen q-hypergeometrische Funktion Das -Analogon der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion ist die -hypergeometrische Funktion

q-orthogonale Polynome Die stetigen -Hermitischen Polynome sind durch folgende Rekursion gegeben

mit Anfangswerten

Analysis

Das -Analogon der Exponentialfunktion ist

q-Kalkül Das -Analogon der Ableitung einer Funktion ist die Q-Differenz

dadurch entsteht das sogenannte -Kalkül.

q-Taylorreihe Das -Analogon von ist

zusammen mit der -Differenz und der -Fakultät lässt sich nun ein -Analogon zur Taylorreihe für herleiten

Literatur

Einzelnachweise

Kategorie:Kombinatorik