miniatur|300px|Sierpinski-Dreieck mit Rekursionstiefe 7 mini|Sierpinski-Pyramide als Lichtinstallation Fraktal am Tetraeder in Bottrop
Das Sierpinski-Dreieck ist ein 1915 von Wacław Sierpiński beschriebenes FraktalW. Sierpinski, Sur une courbe dont tout point est un point de ramification.//Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. - Paris. – Tome 160, Janvier - Juin 1915. - Pp. 302 – 305. - – mitunter auch Sierpinski-Fläche oder -Dichtung genannt, das eine selbstähnliche Teilmenge eines meist gleichseitigen Dreiecks ist. Teilt man das Dreieck in vier zueinander kongruente und zum Ausgangsdreieck ähnliche Dreiecke, deren Eckpunkte die Seitenmittelpunkte des Ausgangsdreiecks sind, dann sind die Teilmengen des Fraktals in den drei äußeren Dreiecken skalierte Kopien des gesamten Fraktals, während das mittlere Teildreieck nicht zum Fraktal gehört. Diese Aufteilung des Fraktals in skalierte Kopien kann in den äußeren Teildreiecken rekursiv fortgesetzt werden. Die fraktale Dimension des Sierpinski-Dreiecks beträgt
Konstruktion Algorithmus Zur Darstellung des Sierpinski-Dreiecks wird als Ausgangsdreieck meist ein gleichseitiges Dreieck gewählt. Das ist nicht zwingend; aus jedem Dreieck kann ein Sierpinski-Dreieck erzeugt werden. miniatur|Schrittweise Konstruktion des Sierpinski-Dreiecks
Der klassische Algorithmus, der zur grafischen Demonstration des Fraktalbegriffs verwendet wird, ist folgender: Zeichne ein Dreieck („Initiator“) Verbinde die Mittelpunkte der Seiten („Generator“). Dadurch wird das ursprüngliche Dreieck in 4 deckungsgleiche Teildreiecke zerlegt. Entferne das mittlere der 4 Teildreiecke. Die anderen 3 Teildreiecke bleiben übrig. Wende Schritte 2 und 3 auf die drei übriggebliebenen Teildreiecke an usw. mini|Sierpinski-Dreieck mit Rekursionstiefe 5, das aus Penrose-Dreiecken besteht Dieser Algorithmus verdeutlicht den Zusammenhang. Bei jedem Iterationsschritt entstehen an den Ecken 3 zum Initiator ähnliche Dreiecke mit halber Seitenlänge und 1/4 des Flächeninhalts, die gefärbt werden. Das 4. innere kleine Dreieck, welches dabei entsteht, kann man sich als aus der Dreiecksfläche des vorhergehenden Schritts herausgeschnitten vorstellen.
Das eigentliche Sierpinski-Dreieck im streng mathematischen Sinn ist diejenige Punktmenge, die als „Grenzobjekt“ nach unendlich vielen Iterationsschritten übrigbleibt. Anschaulich gesprochen besteht das Sierpinski-Dreieck somit aus unendlich vielen Eckpunkten. Zur Darstellung, die meist mit rekursiven Computerprogrammen realisiert und nach Bedarf auf einem Bildschirm angezeigt oder ausgedruckt wird, reicht meist schon eine Iterationstiefe oder Rekursionstiefe von höchstens 10. Bedingt durch die Bildauflösung des darstellenden Mediums (Monitor, Drucker etc.) und des menschlichen Auges sind diese Gebilde vom Grenzobjekt nicht mehr zu unterscheiden. In klassischer planimetrischer Flächenmessung geht der Flächeninhalt mit zunehmender Iterationstiefe gegen 0.
Die folgende Tabelle zeigt die Anzahlen der verschiedenen Teildreiecke des Sierpinski-Dreiecks nach Iterationsschritten für : Anzahl der TeildreieckeIterationsschrittübriggebliebenneu gelöschtinsgesamt gelöschtinsgesamtk3k3k − 1(3k − 1) / 2(3k + 1 − 1) / 20100113114293413327913404812740121
Lindenmayer-System Das Sierpinski-Dreieck lässt sich durch ein Lindenmayer-System mit folgenden Eigenschaften beschreiben:
Winkel: 120° Startstring: Ableitungsregeln:
Darstellung in Wolframs eindimensionalem Universum In Stephen Wolframs eindimensionalen zellulären Automaten erzeugt eine einzelne lebende Zelle in Regel 90 ein Sierpinski-Dreieck.
Mathematische Zusammenhänge framed|Das Sierpinski-Dreieck ist selbstähnlich
Als klassisches Fraktal ist das Sierpinski-Dreieck ein Musterbeispiel für exakte Selbstähnlichkeit: Die in jedem Schritt erzeugten äußeren Teildreiecke enthalten verkleinerte exakte Kopien des gesamten Fraktals. Eine passende Skalierung eines beliebigen dreieckigen Teils des Fraktals erscheint wie das Gesamtobjekt selbst. Es ist somit skaleninvariant.
Nach Iterationsschritten bleiben Teildreiecke gleicher Seitenlänge übrig und es werden Dreiecke verschiedener Seitenlänge entfernt.
Flächeninhalt Wenn das ursprüngliche Dreieck (Ausgangsdreieck) gleichseitig ist und die Seitenlänge hat, beträgt sein Flächeninhalt .
Dann sind offensichtlich auch alle Teildreiecke und alle gelöschten Dreiecke gleichseitig. Beim ersten Iterationsschritt wird ein Dreieck mit halber Seitenlänge, also dem Flächeninhalt entfernt. Mit jedem Schritt verdreifacht sich die Anzahl der Dreiecke und die Seitenlänge halbiert sich, sodass beim Iterationsschritt genau Dreiecke mit der Seitenlänge entfernt werden. Der Flächeninhalt der gelöschten Dreiecke beim Iterationsschritt ist also gleich . Der gesamte Flächeninhalt der gelöschten Dreiecke nach dem Iterationsschritt ist also gleich und der Flächeninhalt der übriggebliebenen Teildreiecke ist gleich . Dabei wurde eine so genannte geometrische Reihe mit dem konstanten Skalierungsfaktor berechnet.
Das lässt sich auch einfacher erkennen, denn mit jedem Iterationsschritt verringert sich der gesamte Flächeninhalt, der am Anfang beträgt, um , oder anders ausgedrückt, er multipliziert sich mit dem Faktor . Nach Schritten ergibt sich logischerweise der Flächeninhalt , der sich auf Teildreiecke mit der Seitenlänge aufteilt.
Der Flächeninhalt der übriggebliebenen Teildreiecke geht gegen 0, wenn die Anzahl der Schritte gegen unendlich geht. Formal lässt sich das mit ausdrücken. Entscheidend ist dabei, dass die Seitenlänge konstant bleibt. Bei einigen anderen Fraktalen, zum Beispiel der Koch-Kurve, der Mandelbrot-Menge und vielen Julia-Mengen, nähert sich der Flächeninhalt stattdessen einem konstanten Wert größer als 0, konvergiert also auch.
Fraktale Dimension Von den zugrundeliegenden mathematischen Gesetzmäßigkeiten her ist das Sierpinski-Dreieck eng verwandt mit der Cantor-Menge. Seine fraktale Dimension ist der Kehrwert derselben, nämlich . Dies resultiert daraus, dass sich die Anzahl der Teildreiecke mit jedem Schritt verdreifacht, also beim Schritt genau neue Teildreiecke mit der Seitenlänge erzeugt werden. Das Fraktal entsteht als Grenzobjekt, wenn gegen unendlich geht, genauer, indem der Durchschnitt aller Zwischenschritte der Konstruktion gebildet wird, und es kann daher als „geometrisches Analogon“ zu einem Grenzwert aufgefasst werden. Aus der Bildungsvorschrift lässt sich auch berechnen, welche Punkte der ursprünglichen Fläche zum Grenzobjekt gehören.
Zusammenhang mit regelmäßigen Parkettierungen Das regelmäßige Sierpinski-Dreieck steht im Zusammenhang mit dem regelmäßigen Dreiecksgitter, das die euklidische Ebene vollständig mit kongruenten gleichseitigen Dreiecken ausfüllt (siehe Abbildung). Dieses regelmäßige Dreiecksgitter ist spiegelsymmetrisch, punktsymmetrisch, drehsymmetrisch und translationssymmetrisch und eine sogenannte platonische Parkettierung (englisch: uniform tiling).
Das regelmäßige Dreiecksgitter ist eine feinere Zerlegung des regelmäßigen Sierpinski-Dreiecks nach dem Iterationsschritt . Dabei werden die gelöschten Dreiecke des Iterationsschritts , deren Seitenlänge um den Faktor größer als die Seitenlänge der übriggebliebenen Dreiecke ist, jeweils in kongruente gleichseitige Dreiecke mit dieser Seitenlänge zerlegt. Das äußere Gebiet, das theoretisch ins Unendliche der zweidimensionalen Ebene geht, wird ebenfalls in solche Dreiecke zerlegt. Das regelmäßige Sierpinski-Dreieck nach dem Iterationsschritt überdeckt ziemlich offensichtlich Dreiecke des regelmäßigen Dreiecksgitters.
Die kongruenten Dreiecke müssen nicht gleichseitig sein. Mithilfe einer affinen Abbildung kann das Sierpinski-Dreieck zusammen mit dem Dreiecksgitter auf beliebige Dreiecke verallgemeinert werden.
Topologie In der Topologie betrachtet man das Sierpinski-Dreieck als Unterraum des mit der euklidischen Metrik versehenen . Es stellt ein im nirgends dichtes, lokal zusammenhängendes, metrisches Kontinuum dar und gilt – zusammen mit dem Sierpinski-Teppich – nicht zuletzt deswegen als besonders bemerkenswerter topologischer Raum.P. S. Alexandroff: Einführung in die Mengenlehre und in die allgemeine Topologie. 1984, S. 191–192.
Darstellung mittels Hutchinson-Operator Ein Sierpinski-Dreieck lässt sich auch als Attraktor eines dynamischen Rückkopplungsprozesses, eines deterministisch iterierten Funktionensystems mit geeigneten Parametern aus nahezu jeder beliebigen geometrischen Figur darstellen. Dabei werden wiederholt Mehrfach-Transformationen des Ausgangsobjektes vorgenommen, diese Bilder mit einer Abbildungsvorschrift, dem Hutchinson-Operator, entsprechend angeordnet und diese Prozedur erneut auf das entstandene Gesamtbild angewandt usw. Mit zunehmender Iterationstiefe streben die entstehenden Bilder, falls geeignete Parameter gewählt wurden, einem Sierpinski-Dreieck zu, das in diesem Falle der Attraktor des Funktionensystems ist.
Das Sierpinski-Dreieck ist in diesem Sinne charakterisiert als diejenige kompakte Teilmenge der Ebene, die identisch ist mit der Vereinigung ihrer drei Bilder unter den drei Ähnlichkeitsabbildungen, die das gesamte Dreieck jeweils auf die drei halb so großen Teildreiecke abbilden.
75px|1. Stufe 75px|2. Stufe 75px|3. Stufe 75px|4. Stufe 75px|5. Stufe 75px|6. Stufe 75px|7. Stufe 75px|8. Stufe Stufe 1 2 3 4 5 6 7 8
Sierpinski-Pfeilspitzen-Kurve mini|300x300px|Die ersten 6 Iterationsschritte der Sierpinski-Pfeilspitzen-Kurve
Die Sierpinski-Pfeilspitzen-Kurve (siehe Abbildung) ist eine raumfüllende Kurve, die das Sierpinski-Dreieck in der zweidimensionalen euklidischen Ebene approximiert. Die Sierpinski-Kurve oder auch die Hilbert-Kurve oder die Peano-Kurve haben andere fraktale Eigenschaften und keinen direkten Zusammenhang zum Sierpinski-Dreieck.
Die fraktale Selbstähnlichkeit der Sierpinski-Pfeilspitzen-Kurve ist komplizierter, weil dort andere Drehungen, Spiegelungen und lokale Ungenauigkeiten eine Rolle spielen.
Sierpinski-Tetraeder miniatur|Ein Sierpinski-Tetraeder Eine Darstellung des Sierpinski-Dreiecks ist, analog zum Menger-Schwamm, auch dreidimensional möglich: Die Startfigur ist ein Tetraeder. Aus dessen Mitte wird in jedem Iterationsschritt ein Oktaeder mit halber Kantenlänge herausgeschnitten. Übrig bleiben vier Tetraeder, aus denen wieder je ein Oktaeder herausgeschnitten wird usw.http://www.3d-meier.de/tut10/Seite20.html
Nach dem Iterationsschritt sind offensichtlich Teil-Tetraeder mit derselben Seitenlänge entstanden. Die Anzahl der herausgeschnittenen Oktaeder mit verschiedener Seitenlänge beträgt .
Die Dimension für dieses Gebilde ist , obwohl es sich hierbei um eine Figur im dreidimensionalen Raum handelt. Mit einer zunehmenden Zahl von Iterationsschritten geht das Volumen der Figur gegen 0, der Flächeninhalt der Oberfläche bleibt jedoch konstant, weil sich die Anzahl der Seitenflächen der zueinander deckungsgleichen Teil-Tetraeder mit jedem Iterationsschritt vervierfacht, während sich die Seitenlänge dieser Seitenflächen, die alle deckungsgleiche Dreiecke sind, halbiert.
Interessant ist, dass sich das im Fall eines regelmäßigen Sierpinski-Tetraeders auch wie folgt einsehen lässt: mini|Ein animiertes regelmäßiges Sierpinski-Tetraeder.
Die doppelte und quadratische Projektionsfläche hilft zu zeigen, dass die Oberfläche nach jedem Iterationsschritt konstant bleibt.