In der Mathematik ist die L-Funktion einer elliptischen Kurve oder Hasse-Weil-Zeta-Funktion ein wichtiges Werkzeug der Zahlentheorie.
Definition Sei eine elliptische Kurve über . Für eine Primzahl definieren wir den lokalen Faktor der L-Reihe in wie folgt.
Wenn modulo gute Reduktion hat, sei die Anzahl der Punkte in und . Wir definieren dann . Weiter definieren wir , wenn modulo spaltende semistabile Reduktion hat, , wenn modulo nicht-spaltende semistabile Reduktion hat, , wenn modulo instabile Reduktion hat. Die L-Reihe der elliptischen Kurve wird dann als Produkt über die lokalen Faktoren definiert:
Aus der von Hasse bewiesenen Ungleichung folgt Konvergenz und Analytizität von für .
Beispiele
Die Gleichung beschreibt ein minimales Modell mit Diskriminante . Die einzige Primzahl schlechter Reduktion ist , dort ist die Reduktion spaltend semistabil. Also ist
.
Die Kurve hat instabile Reduktion in und , spaltende semistabile Reduktion in und nicht-spaltende semistabile Reduktion in und . Damit ist
.
Dirichlet-Entwicklung Die L-Reihe einer elliptischen Kurve hat eine Entwicklung als Dirichlet-Reihe: , wobei die Fourier-Koeffizienten wie folgt berechnet werden: . Für eine Primzahl ist , wenn gute Reduktion in hat, , wenn spaltende semistabile Reduktion in hat, , wenn nicht-spaltende semistabile Reduktion in hat, , wenn instabile Reduktion in hat. Für eine Primzahlpotenz ist im Falle guter Reduktion modulo der Fourier-Koeffizient rekursiv definiert durch , während im Falle schlechter Reduktion gilt. Für teilerfremde Zahlen gilt .
Funktionalgleichung Die L-Reihe einer elliptischen Kurve hat eine analytische Fortsetzung auf die gesamte komplexe Zahlenebene und erfüllt mit
für den Führer und die Gamma-Funktion eine Funktionalgleichung
mit . Diese von Hasse und Weil aufgestellte Vermutung folgt aus dem Modularitätssatz. Aus der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer würde folgen.
Literatur A. Lozano-Robledo: Elliptic curves, modular forms, and their L-functions. Student Mathematical Library 58. American Mathematical Society (AMS), Providence, RI 2011, ISBN 978-0-8218-5242-2/pbk.
Kategorie:Zahlentheorie