In der Kategorientheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, stellt eine natürliche Transformation eine Möglichkeit dar, einen Funktor in einen anderen zu transformieren, und das unter Beibehaltung der inneren Struktur der beteiligten Kategorien, das heißt der Kompositionen von Morphismen. Tatsächlich kann diese Intuition so formalisiert werden, dass man zum Begriff der sogenannten Funktorkategorie gelangt. Natürliche Transformationen gehören nach Kategorien und Funktoren zu den fundamentalsten Begriffen der Kategorientheorie und kommen daher in der Mehrzahl ihrer Anwendungen vor.
Definition Seien und Funktoren zwischen den Kategorien und . Eine natürliche Transformation von nach ist eine Familie von Morphismen , so dass Folgendes gilt: Für jedes Objekt in ist ein Morphismus in . Der Morphismus heißt die Komponente von bei . Die Komponenten von erfüllen für jeden Morphismus in die Gleichung .
Diese Gleichung wird übersichtlich durch folgendes kommutatives Diagramm ausgedrückt:
zentriert|Dies ist das kommutative Diagramm zur Definition der natürlichen Transformation zwischen zwei Funktoren.
Sind beide Funktoren und kontravariant, so kehren sich die vertikalen Pfeile in obigem Diagramm um. Ist eine natürliche Transformation von nach , so schreibt man oder . Das drückt man auch durch die Redeweise aus, dass die Familie von Morphismen natürlich in sei.
Wenn alle Komponenten Isomorphismen in sind, so nennt man einen natürlichen Isomorphismus oder eine natürliche Äquivalenz oder einen Isomorphismus der Funktoren. Zwei Funktoren und heißen natürlich isomorph oder einfach isomorph, wenn es einen natürlichen Isomorphismus von nach gibt.
Zu einer beliebigen Familie von Morphismen gibt es eine größte Unterkategorie von , so dass die Einschränkung darauf einen natürliche Transformation ist. Sie besteht aus allen Objekten von und allen Morphismen in , die obige Bedingung erfüllen.
Beispiele Gegengruppen Jede Gruppe ist natürlich isomorph zu ihrer Gegengruppe. Aussagen dieser Art kommen in der modernen Mathematik sehr häufig vor. Wir wollen die genaue Bedeutung dieser Aussage und auch ihren Beweis wiedergeben.
Betrachte die Kategorie aller Gruppen mit den Gruppenhomomorphismen als Morphismen. Ist eine Gruppe, so definieren wir ihre Gegengruppe wie folgt: ist dieselbe Menge wie und die Gruppenoperation wird definiert durch . In diesem Sinne sind alle Multiplikationen in „umgedreht“. Der Übergang zur Gegengruppe wird zu einem kovarianten Funktor von nach , wenn wir für jeden Homomorphismus definieren. Beachte, dass tatsächlich ein Gruppenhomomorphismus ist, denn
Der Inhalt obiger Aussage ist: „Der identische Funktor ist natürlich isomorph zu .“ Zum Beweis müssen wir für jede Gruppe einen Homomorphismus finden, so dass obiges Diagramm kommutiert. Dazu setze . Die Formeln und zeigen, dass ein Gruppenhomomorphismus mit der Umkehrung ist. Zum Nachweis der Natürlichkeit gehen wir von einem Gruppenhomomorphismus aus und zeigen , das heißt für alle in . Das gilt, weil und jeder Gruppenhomomorphismus die Eigenschaft hat.
Abelisierung Zu einer Gruppe betrachten wir ihre Abelisierung . Sei die Quotientenabbildung auf die Menge der Nebenklassen von [G,G] . Dieser Homomorphismus ist natürlich in , wie wir nun zeigen werden. Sei eine Gruppe und ein Homomorphismus. Dann ist im Kern von enthalten, denn jeder Homomorphismus in eine abelsche Gruppe bildet jeden Kommutator auf das neutrale Element ab. Dann faktorisiert über als mit einem eindeutigen Homomorphismus . Das macht zu einem Funktor und zu einer natürlichen Transformation vom identischen Funktor zu , allerdings nicht zu einem natürlichen Isomorphismus.
Hurewicz-Homomorphismus Die algebraische Topologie ist reich an Funktoren und natürlichen Transformationen. Als Beispiel betrachten wir den Hurewicz-Homomorphismus. Für jeden punktierten topologischen Raum und jede positive natürliche Zahl existiert ein Gruppenhomomorphismus
von der -ten Homotopiegruppe von in die -te singuläre Homologiegruppe von . Sowohl als auch sind Funktoren von der Kategorie Top* der punktierten topologischen Räume in die Kategorie Grp der Gruppen und ist eine natürliche Transformation von nach .
Determinante Sind und kommutative Ringe und ein Ringhomomorphismus, so definiert durch komponentenweise Anwendung von einen Gruppenhomomorphismus von nach , wobei die Gruppe der invertierbaren Matrizen über mit Zeilen und Spalten sei. Ganz ähnlich ist die Einschränkung von ein Gruppenhomomorphismus , wobei die Einheitengruppe von sei. Tatsächlich sind hierdurch Funktoren und von der Kategorie der kommutativen Ringe in die Kategorie der Gruppen gegeben. Die Einschränkung der Determinante auf ist ein Homomorphismus , der natürlich in ist, denn da die Determinante für jeden Ring durch dieselbe Formel definiert ist, gilt . Dies macht die Determinate zu einer natürlichen Transformation von nach .
Bidual eines Vektorraums Ist ein Körper, so ist für jeden Vektorraum über eine „natürliche“, injektive, lineare Abbildungen des Vektorraums in seinen Bidualraum definiert. Diese Abbildungen sind in folgendem Sinne natürlich: Die Zuordnung zum Bidualraum ist ein Funktor, und die Abbildungen sind die Komponenten einer natürlichen Transformation vom identischen Funktor zum Bidualraum-Funktor.
Endliche Analysis Für jede abelsche Gruppe bildet die Menge der Funktionen von den ganzen Zahlen in die unterliegende Menge von eine mit bezeichnete abelsche Gruppe bezüglich der punktweisen Addition. Hierbei ist der übliche Vergissfunktor . Ist ein -Morphismus, so ist die Abbildung , selbst ein Homomorphismus abelscher Gruppen. Auf diese Weise erhalten wir einen Funktor . Der endliche Differenzoperator , der jede Funktion auf abbildet, ist eine Abbildung von in sich selbst. Die Familie dieser Abbildungen definiert eine natürliche Transformation .
Tensor-Hom-Adjunktion Betrachte die Kategorie der abelschen Gruppen und Gruppenhomomorphismen. Für je drei abelsche Gruppen gibt es einen Gruppenhomomorphismus . Diese Isomorphismen sind in dem Sinne natürlich, dass sie eine natürliche Transformation zwischen den Funktoren und von definieren. Hier steht „op“ für die duale Kategorie und nicht für den oben betrachteten (und auf trivialen) Funktor der Gegengruppen.
Dies ist formal die Adjunktion zwischen Tensorierung und Hom-Funktor, es handelt sich um den Archetyp eines Paares adjungierter Funktoren. Natürliche Transformationen treten häufig in Verbindung mit adjungierten Funktoren auf, tatsächlich sind adjungierte Funktoren mittels gewisser natürlicher Isomorphismen definiert. Zusätzlich ist jedes Paar adjungierter Funktoren mit zwei weiteren natürlichen Transformationen (die im Allgemeinen keine natürlichen Isomorphismen sind) verbunden, nämlich der Einheit und der Koeinheit.
Unnatürliche Isomorphismen Der Begriff der natürlichen Transformation ist kategoriell und besagt, informell gesprochen, dass eine bestimmte Abbildung zwischen Funktoren in konsistenter Weise über die gesamte Kategorie hinweg erstellt werden kann. Einzelne Abbildungen, insbesondere Isomorphismen, zwischen einzelnen Objekten (also nicht auf der gesamten Kategorie gegeben) werden „natürlich“ bzw. „natürliche Isomorphismen“ genannt, wenn man ihre Definitionen derart auf die gesamte Kategorie ausdehnen kann, dass man eine natürliche Transformation zwischen Funktoren erhält. Die Formalisierung dieser Intuition war ein motivierendes Element in der Entwicklung der Kategorientheorie. Umgekehrt nennt man einen Isomorphismus zwischen einzelnen Objekten „unnatürlich“ oder „nicht natürlich“, wenn diese Abbildung nicht zu einer natürlichen Transformation auf der gesamten Kategorie ausdehnen kann. Ist ein Objekt gegeben und ein Funktor (der Einfachheit halber wählen wir den ersten der beteiligten Funktoren als identischen Funktor) und ist ein Isomorphismus, so kann die Unnatürlichkeit am einfachsten dadurch gezeigt werden, dass man einen Automorphismus angibt, der nicht mit dem Isomorphismus kommutiert, das heißt . Will man die stärkere Aussage beweisen, dass und nicht natürlich isomorph sind, ohne dabei einen bestimmten Isomorphismus zu betrachten, muss man für jeden Isomorphismus einen solchen nicht-kommutierenden Automorphismus finden. In manchen Fällen genügt dafür schon ein einziger Automorphismus für alle Kandidaten, in anderen Fällen muss man für jedes ein anderes passendes konstruieren. Die Morphismen der Kategorie spielen dabei eine Schlüsselrolle, im Extremfall einer Kategorie, in der die Identitäten die einzigen Morphismen sind, ist jede Familie von Morphismen für zwei gegebene Funktoren in eine andere Kategorie eine natürliche Transformation.
Das ist vergleichbar zu gewissen Konzepten aus der Gruppentheorie oder Modultheorie, bei denen Zerlegungen eines Objektes in direkte Summen „nicht natürlich“, oder eher „nicht eindeutig“ sind, da es Automorphismen gibt, die die direkte Summenzerlegung nicht erhalten. Ein Beispiel dafür ist der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen.
Manche Autoren unterscheiden diese Begriffe auch in ihrer Schreibweise, sie verwenden für natürliche Isomorphismen, für unnatürliche Isomorphismen und für Gleichheit.
Beispiel: Fundamentalgruppe des Torus Als Beispiel für die Unterscheidung zwischen funktoriellen Aussagen und solchen über individuelle Objekte betrachten wir Homotopiegruppen, speziell die Fundamentalgruppe des Torus .
Die Homotopiegruppe eines Produktraums ist auf natürliche Weise gleich dem Produkt der Homotopiegruppen der Komponenten, , wobei der Isomorphismus durch die Projektionen auf die beiden Faktoren gegeben ist. Das gilt im Wesentlichen deshalb, weil Abbildungen in einen Produktraum genau die Produkte der Abbildungen in die Komponenten sind. Das ist eine funktorielle Aussage.
Der Torus, der auf abstrakte Weise ein Produkt zweier Kreise ist, hat jedenfalls als Fundamentalgruppe , aber die Zerlegung ist nicht natürlich:
Beachte die Verwendung von , und .
Dieser abstrakte Isomorphismus mit dem Produkt ist nicht natürlich, denn manche Automorphismen auf erhalten das Produkt nicht. Der Automorphismus (Homöomorphismus) auf dem Torus, den man sich als Quotientenraum gegeben denke, der durch gegeben ist (geometrisch ist das ein Dehn-Twist), erhält nicht die Produktstruktur, da die definierende Matrix nicht diagonal ist. Ist allerdings der Torus als Produkt gegeben, , dann ergibt sich die Zerlegung der Gruppe wie oben angegeben durch die Projektionsabbildungen. Kategorientheoretisch ausgedrückt ist die hier relevante Kategorie die der Produkträume, die mit ihrer Produktstruktur gegeben sind, und den Abbildungen zwischen ihnen, die als Paare von Abbildungen zwischen den Komponenten gegeben sind.
Natürlichkeit ist ein kategorieller Begriff und erfordert eine präzise Angabe der vorliegenden Daten. Der Torus als topologischer Raum, der in der Kategorie der topologischen Räume und stetigen Abbildungen als ein Produkt geschrieben werden kann, ist etwas anderes als ein bereits als Produkt definierter Torus in der Kategorie der Produkte zweier topologischer Räume und den stetigen Abbildungen zwischen den Komponenten (denn die Kategorien sind andere).
Beispiel: Dualraum eines endlichdimensionalen Vektorraums
Jeder endlichdimensionale Vektorraum ist isomorph zu seinem Dualraum, aber es kann sehr viele verschiedene Isomorphismen zwischen diesen beiden Räumen geben. Im Allgemeinen gibt es keinen natürlichen Isomorphismus zwischen einem endlichdimensionalen Vektorraum und seinem Dualraum. Allerdings können verwandte Kategorien (mit zusätzlicher Struktur und Beschränkungen in den Morphismen) durchaus natürliche Isomorphismen dieser Art besitzen, wie unten ausgeführt wird.
Ein Dualraum eines endlichdimensionalen Vektorraums ist wieder ein endlichdimensionaler Vektorraum derselben Dimension, und daher sind die beiden isomorph, denn die Dimension ist die einzige Invariante endlichdimensionaler Vektorräume über einem gegebenen Körper.