Die Hermann-Mauguin-Symbolik (nach den Kristallographen Carl Hermann und Charles-Victor Mauguin) wird zur Beschreibung von Symmetrieelementen und Symmetriegruppen verwendet. Ihr Hauptanwendungsgebiet ist die Beschreibung der 32 kristallographischen Punktgruppen und der 230 kristallographischen Raumgruppen. Weiter wird sie zur Beschreibung zweidimensionaler ebener Gruppen, zwei- und dreidimensionaler subperiodischer Gruppen (Bandornament-, Stab- und Schichtgruppen) und nicht-kristallographischer Gruppen verwendet. Normiert ist sie in den International Tables for Crystallography.
Neben der Symbolik nach Hermann-Mauguin existiert eine Schreibweise nach Arthur Schoenflies, die Schoenflies-Symbolik. Sie wird jedoch kaum noch für die Beschreibung eines kristallinen Zustands genutzt, sondern zur Beschreibung der Symmetrie von Molekülen.
Symbole der Symmetrieelemente Drehachsen Eine Drehung um wird dargestellt durch (gesprochen „n-fache Drehung“).
Spezialfälle sind: , eine Drehung um 360°, entsprechend der Identität , eine Drehung um einen beliebig kleinen Winkel.
In kristallographischen Raum- und Punktgruppen können folgende Drehungen vorkommen: n (= Anzahlsymmetrieäquivalente Teilchen) Beschreibung Drehwinkel Bemerkung Identität 0° = 360° Element jeder Gruppe;entfällt meist im Kurzsymbol zweizähligeDrehachse 180° dreizähligeDrehachse 120° vierzähligeDrehachse 90° sechszähligeDrehachse 60°
Inversionszentrum : Inversionszentrum. Vervielfältigung eines Teilchens durch Punktspiegelung. Es entstehen insgesamt zwei symmetrieäquivalente Teilchen.
Gekoppelte Symmetrieoperationen (Drehinversionsachsen)
Eine Drehung um und anschließende Punktspiegelung an einem Punkt auf der Drehachse wird dargestellt durch .
In kristallographischen Raum- und Punktgruppen können folgende Drehinversionen vorkommen: Beschreibung Drehwinkel Anzahlsymmetrieäquivalente Teilchen Inversion / Punktspiegelung 0° = 360° 2 * zweizähligeDrehinversionsachse 180° 2 dreizähligeDrehinversionsachse 120° 6 vierzähligeDrehinversionsachse 90° 4 sechszähligeDrehinversionsachse 60° 6
*) Da diese Operation zum selben Ergebnis führt wie die Spiegelung an einer Ebene, wird das Symbol nicht verwendet, sondern immer als Spiegelebene angegeben.
Spiegelebene : Spiegelebene. Vervielfältigung eines Teilchens durch Spiegelung an einer Ebene. Es entstehen insgesamt zwei symmetrieäquivalente Teilchen.
Kombinierte Symmetrieoperationen (Drehachsen senkrecht zu Spiegelebenen) Eine Drehachse senkrecht zu einer Spiegelebene wird dargestellt durch oder (jeweils gesprochen „n über m“; beide Schreibweisen sind äquivalent, die erste ist in der älteren Literatur üblich).
Beschreibung Anzahlsymmetrieäquivalente Teilchen zweizählige Drehachsesenkrecht zu einer Spiegelebene 4 * dreizählige Drehachsesenkrecht zu einer Spiegelebene 6 vierzählige Drehachsesenkrecht zu einer Spiegelebene 8 sechszählige Drehachsesenkrecht zu einer Spiegelebene 12 *) Da diese Operation zum selben Ergebnis wie die sechszählige Drehinversionsachse führt, wird das Symbol bzw. nicht verwendet, sondern immer als sechszählige Drehinversionsachse angegeben.
Symbole der Punktgruppen Mit den oben beschriebenen Symbolen lassen sich die 32 Punktgruppen (Kristallklassen) beschreiben, da deren Symmetrieoperationen anders als die Raumgruppen (s. u.) keine Translation beinhalten.
Für jedes Kristallsystem werden die Symmetrieoperationen bezüglich dreier vorgegebener kristallographischer Richtungen angegeben: die Dreh- und Drehinversionsachsen parallel zu folgenden Richtungen die Spiegelebenen senkrecht zu folgenden Richtungen: Kristallsystem 1. Stelle 2. Stelle 3. Stelle monoklin orthorhombisch tetragonal trigonal,hexagonale Aufstellung hexagonal trigonal,rhomboedrische Aufstellung kubisch Im triklinen Kristallsystem gibt es die Punktgruppen (Abwesenheit von Inversionszentren) (Anwesenheit von Inversionszentren).
(Die farbig hinterlegten Richtungen werden in den Punktgruppensymbolen grundsätzlich nicht angegeben, da dort nie Symmetrieelemente außer oder liegen. Für die Raumgruppensymbole werden sie aber gelegentlich benötigt.)
Bei der gekürzten Schreibweise der Hermann-Mauguin-Symbole werden redundante Informationen weggelassen: so wird z. B. statt geschrieben.
Beispiel Als Beispiel lässt sich die kristallographische Punktgruppe bzw. Kristallklasse orthorhombisch-disphenoidisch (Kristallklasse Nr. 6) beschreiben mit dem Hermann-Mauguin-Symbol 222. (Die konkreten Symbole für die weiteren Kristallklassen finden sich hier: Punktgruppe #Die 32 kristallographischen Punktgruppen (Kristallklassen).)
Dieses Symbol ist wie folgt zu deuten: Es ist aus drei Einzelysmbolen zusammengesetzt, die sich jeweils auf eine vorgegebene (Blick-)Richtung beziehen. Die drei betrachteten Richtungen sind im orthorhombischen Kristallsystem: Richtung der a-Achse (<100>): 1. Einzelysmbol Richtung der b-Achse (<010>): 2. Einzelysmbol Richtung der c-Achse (<001>): 3. Einzelysmbol. In diesen drei Richtungen enthält die beschriebene Kristallklasse jeweils eine zweizählige Drehachse (Einzelsymbol 2), aber im Unterschied zu den anderen orthorhombischen Kristallklassen keine Drehinversionsachse.
Die drei o. g. Richtungen und damit auch die zweizähligen Drehachsen, die bei dieser Kristallklasse in ihnen liegen, stehen jeweils paarweise senkrecht aufeinander.
Da es bei dieser Kristallklasse keine Richtung ohne Symmetrieelement gibt, die man bei der Aufstellung des Symbols weglassen könnte, ist die Kurzform des Symbols identisch mit der Langform.
Symbole der Raumgruppen Die Bezeichnung für die Raumgruppen funktioniert im Prinzip wie die der Punktgruppen.
Zusätzlich wird das Bravais-Gitter vorangestellt: P: primitiv A, B oder C: flächenzentriert F: allseitig flächenzentriert I: innen- oder auch raumzentriert R: hexagonales Gitter mit rhomboedrischer Zentrierung Außerdem treten zusätzliche Symbole auf: : -zählige Schraubenachse mit Translation um Teile eines Gittervektors , oder : Gleitspiegelebene mit Translation entlang eines halben Gittervektors : Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer halben Flächendiagonale : Gleitspiegelebene mit Translation entlang einer viertel Flächendiagonale : zwei Gleitspiegelungen mit gleicher Gleitspiegelebene und Translation entlang zweier (verschiedener) halber Gittervektoren
Ein Beispiel für eine tetragonale Raumgruppe in gekürzter Schreibweise ist .
Literatur
Hahn, Theo (Hrsg.): International Tables for Crystallography Vol. A D. Reidel publishing Company, Dordrecht 1983, ISBN 90-277-1445-2
Kategorie:Kristallographie