Normalbasis einer endlichen Galoiserweiterung

Der Satz über die Existenz einer Normalbasis einer endlichen Galoiserweiterung besagt, dass es eine Basis des -Vektorraums gibt, die sich als Bahn eines geeigneten Elementes unter der Operation der Galois-Gruppe ergibt. Ein solches Element heißt erzeugendes oder freies Element der Galois-Erweiterung , seine Bahn eine Normalbasis von .

Der Name rührt daher, dass (vor allem gemäß älterem, klassischem Sprachgebrauch) Galoiserweiterungen als „normal und separabel“ bezeichnet wurden.Hintergrund dieser Begriffsbildung war natürlich, dass sie per Galoistheorie korrespondiert mit dem Begriff des Normalteilers aus der Gruppentheorie, ebenso wie die Konjugation: Ist eine Körpererweiterung mit ihren über konjugierten Erweiterungskörpern identisch, so heißt die Erweiterung normal. Ist eine Untergruppe mit ihren in konjugierten Untergruppen identisch, so heißt sie normal in . Gemäß dieser Konvention heißt also eine Erweiterung normal, wenn den Zerfällungskörper („Wurzelkörper“) eines jeden enthält und also das Minimalpolynom jedes über in Linearfaktoren zerfällt, mit anderen Worten: Dank der Normalität liegen die über Konjugierten eines jeden (das heißt die übrigen Nullstellen seines Minimalpolynoms) sämtlich in , und operiert auf , d. h., ist ein -Modul. Dank der Separabilität sind dabei alle Wurzeln einfache Nullstellen, so dass jedes genau verschiedene Konjugierte besitzt. Separable normale Körpererweiterungen heißen Galoiserweiterungen, und eine Normalbasis der Galoiserweiterung ist eine Basis des -Vektorraums , die als Bahn aus seiner -Modul-Struktur hervorgeht.

In der Sprache der Darstellungstheorie endlicher Gruppen formuliert liefert der Satz von der Existenz einer Normalbasis die Erkenntnis, dass die natürliche Darstellung , die durch die Operation von auf gegeben ist, äquivalent (isomorph) zur regulären Darstellung von ist, mit anderen Worten: und sind als -Linksmoduln isomorph. So liefert Zyklizität von diejenige von , also ein Element , dessen Bahn eine -Basis ist.

Für zyklische Erweiterungen erscheint dieser Satz als eine Anwendung der Klassifikation endlich erzeugter Torsionsmoduln über Hauptidealringen (Elementarteilersatz). Diese Betrachtungsweise ist also insbesondere für endliche Körper und zyklische Kummer-Erweiterungen fruchtbar. Zugleich wird deutlich, dass weitere Existenzsätze – nämlich der Satz von der Existenz einer Primitivwurzel modulo einer Primzahl und allgemeiner der Satz über die Zyklizität endlicher Untergruppen der multiplikativen Gruppe eines Körpers – demselben Argumentationsschema folgen: Im Falle dieser letztgenannten Existenzsätze geht es um den Nachweis, dass ein endlich erzeugter (sogar ein endlicher) Torsionsmodul über den ganzen Zahlen (nämlich eine endliche abelsche Gruppe) zyklisch ist, im Falle zyklischer Galois-Erweiterungen um den Nachweis, dass ein endlich erzeugter Torsionsmodul über zyklisch ist. Das hierfür genutzte Kriterium für Zyklizität besteht darin, dass Annullator und charakteristischer Divisor übereinstimmen.

Für unendliche Körper gab Emil Artin einen Beweis, der auf der Betrachtung der Determinante eines Matrizenpolynoms beruht: Setzt man für die Unbestimmte ein primitives Element der Galoiserweiterung ein, so geht die zugehörige Matrix über in die Permutationsmatrix, mit welcher die Inversion die Elemente von permutiert. Da das Polynom folglich nicht identisch verschwindet, muss es auch über dem unendlichen Grundkörper Stellen geben, an denen es nicht verschwindet, so dass die zugehörige Matrix regulär ist.

Für den Existenzbeweis im zyklischen Falle spielt der Unabhängigkeitssatz von Dedekind eine Schlüsselrolle, dessen Aussage deshalb im Rahmen der Vorüberlegungen zum Beweis für den zyklischen Fall spezifiziert wird. Zugleich vermag der Unabhängigkeitssatz für Elemente ein Matrixkriterium dafür zu liefern, wann ihre Bahnen Normalbasen sind: Dies wird im darstellungstheoretischen Zusammenhang des Erweiterungskörpers beleuchtet und später im Existenzbeweis genutzt.

Es ist jedoch auch möglich, den Satz über die Existenz einer Normalbasis auf die Eindeutigkeitsaussage des Satzes von Krull-Remak-Schmidt zurückzuführen. Diese Beweisführung beruht ebenfalls auf dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind und lässt die Mächtigkeit des Grundkörpers unberücksichtigt.

Mit Hilfe einer Normalbasis lässt sich der Zusammenhang zwischen Untergruppen der Galoisgruppe und den zugehörigen Fixkörpern – Zwischenkörpern der Galois-Erweiterung – leicht beschreiben. Im Zuge der Untersuchungen zur Lösbarkeit der allgemeinen Gleichung und der Kreisteilungskörper geschah dies schon in der klassischen algebraischen Zahlentheorie, wie im Zahlbericht David Hilberts (1897) nachzulesen ist: In diesen Zusammenhang gehören die Lagrangesche Resolvente und die Gaußschen Perioden, die den mathematischen Hintergrund bei der Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks darstellen.

Die Existenz einer Normalbasis erlaubt für die Kryptographie auf elliptischen Kurven eine nützliche Anwendung, um den Rechenaufwand zu optimieren.

Definition Es sei eine galoissche Körpererweiterung mit Galoisgruppe endlichen Grades , und bezeichne eine Basis von (als Vektorraum) über . Die Basis heißt eine Normalbasis der Galois-Erweiterung , wenn die Automorphismen von – als auf eingeschränkte Abbildungen – eine Operation auf induzieren, das heißt, wenn sie Basiselemente permutieren. Gemäß Galoistheorie sind hierzu äquivalente Bedingungen: Für jedes ist . Für jedes und jedes ist . Die Basis ist mit der Bahn eines identisch: .

Ein solches Element mit diesen Eigenschaft heißt Erzeuger oder erzeugendes Element einer Normalbasis oder freies Element der Galoiserweiterung .Vgl. Encyclopedia of Mathematics: Normal basis theorem: Ein solches Element heißt vollständig frei oder komplett frei (engl.: completely free), wenn es zugleich für jede Zwischenerweiterung (wobei also ) eine Normalbasis erzeugt. Tatsächlich gibt es solche komplett freien Elemente. Sie können sogar im Falle endlicher Körper so gewählt werden, dass sie überdies die zyklische multiplikative Gruppe erzeugen. Dann besteht natürlich die gesamte Bahn aus Elementen mit dieser Eigenschaft (primitive Normalbasis). Ein solches Element erzeugt also als einen -Linksmodul und als einen (multiplikativen) -Modul, natürlich erst recht als (multiplikativen) -Modul.

Für ein Element sind also äquivalent: Das Element erzeugt eine Normalbasis von . Die Bahn ist eine Normalbasis. Die Bahn enthält Elemente und ist linear unabhängig über . Die Bahn spannt über den Raum auf.

Zusammenhang mit dem Gruppenring über dem Grundkörper Die Galois-Gruppe einer Galois-Erweiterung induziert auf in naheliegender Weise zunächst die Struktur eines Links-Moduls über dem (nicht notwendig kommutativen) Gruppenring . In der Sprache der Darstellungstheorie lässt sich dasselbe so ausdrücken: Jede Galois-Erweiterung induziert eine Darstellung der Galoisgruppe , indem Automorphismen aus als Endomorphismen auf dem -Vektorraum aufgefasst werden.

Dabei sind äquivalent: Es gibt einen Isomorphismus von Links-Moduln über dem Gruppenring zwischen dem Erweiterungskörper und der Gruppenalgebra : Der Erweiterungskörper ist als -Links-Modul zyklisch, d. h.:, es gibt ein mit Die Erweiterung besitzt eine Normalbasis.

Ist nämlich ein solcher Isomorphismus, so setze . Dann ist .

Dabei operiert die Galoisgruppe auf als reguläre Darstellung.

Jeder Isomorphismus von -Links-Moduln vermittelt also eine Normalbasis von – und umgekehrt. Denn es gilt folgender

Satz (Matrixkriterium für Erzeuger einer Normalbasis): Es sei eine Galois-Erweiterung mit der Galoisgruppe . Dann sind für ein äquivalent: Das Element erzeugt eine Normalbasis für . Die Bahn ist eine Normalbasis von . . Die (eindeutige) Fortsetzung der Substitution zu einer -linkslinearen Abbildung von Linksmoduln über ist surjektiv und also ein Isomorphismus von -Linksmoduln. (Denn eine solche Fortsetzung ist zugleich ein Homomorphismus von Vektorräumen derselben endlichen Dimension über .) Die Matrix ist regulär.

Begründung für das Matrix-Kriterium: Der Umstand, dass ein Vektorraum-Homomorphismus durch seine Werte auf einer Basis eindeutig festgelegt ist, liefert zusammen mit dem Unabhängigkeitssatz von Dedekind die Erkenntnis, dass für eine Basis von und Koeffizienten die Implikation gilt: . Diese Implikation bedeutet aber, dass für eine Normalbasis die angegebene Matrix regulär ist. Ist umgekehrtDie nun folgende Argumentation entstammt dem Beweis nach Emil Artin, siehe dort den Beweisschritt 12. diese Matrix für ein regulär, so liefert der Ansatz mit Koeffizienten für jedes die Gleichung , also ein lineares Gleichungssystem mit Gleichungen und Unbekannten, zu welcher die reguläre Matrix gehört, so dass für jedes folgt. Also impliziert die Regularität der Matrix die lineare Unabhängigkeit der Bahn .

Demzufolge ist eine Normalbasis gefunden, sobald ein gefunden ist, für welches die Matrix regulär ist. Genau dies ist die Idee des Beweises für den Fall eines unendlichen Grundkörpers.

Notabene: Dass und als Linksmoduln über dem Gruppenring isomorph sind, bedeutet nicht, dass sie auch als Algebren über isomorph sind. Ein offensichtliches Gegenbeispiel liefert jede nicht-abelsche Galoiserweiterung.

Anmerkung 1: Dass als Modul über zyklisch ist, ist trivial. Bemerkenswert ist die Zyklizität über .

Anmerkung 2: Der Unabhängigkeitssatz von Dedekind besagt für eine endliche Körpererweiterung , dass der Gruppenring als -Unterraum von ( als Vektorraum über betrachtet)Mit Hilfe der Darstellung formuliert gilt also , und der Unabhängigkeitssatz von Dedekind sagt aus, dass die Bilder der Darstellung über (also erst echt über ) linear unabhängig sind. die Dimension hat, so dass insgesamt folgt: . Äquivalent sind also: ist galoissch. . als -Vektorräume. als -Vektorräume. Anmerkung 3: Für eine endliche Körpererweiterung und die Gruppe der relativen Automorphismen gilt, wenn den Dualraum des -Vektorraums bezeichnet, allgemeine Aussagen über die Isomorphie von Tensorprodukträumen: einerseits und andererseits. Auch dies zeigt die obigen beiden Kriterien dafür, dass eine Galois-Erweiterung ist. Doch lässt sich aus der Vektorraum-Isomorphie nicht ohne Weiteres die Isomorphie als Links-Moduln über dem Gruppenring folgern.

Der Satz von der Existenz einer Normalbasis aber behauptet demnach, dass eben diese Folgerung doch zutreffend ist: Es sei eine endliche Körpererweiterung mit relativer Automorphismengruppe . Dann gilt: als -Vektorräume als -Linksmoduln. Der Beweis ist jedoch zu erbringen.

Anmerkung 4: Da die umgekehrte Implikation trivial ist, liefert der Satz von der Existenz einer Normalbasis also bei gleichen Voraussetzungen die Äquivalenz der folgenden Aussagen: ist endliche Galois-Erweiterung. . als endlichdimensionale -Vektorräume. als endlichdimensionale -Vektorräume. als -Linksmoduln.

Anmerkung 5: Dabei sind für jedes äquivalent: ist zyklische Galois-Erweiterung mit und . als -Vektorräume endlicher Dimension. als -Vektorräume endlicher Dimension.

Minimalpolynom und charakteristisches Polynom von haben gleichen Grad, d. h., sind (als normierte Polynome) gleich. als -Linksmoduln und . Die Aussage über das Minimalpolynom ist der springende Punkt beim Beweis des Satzes über die Existenz einer Normalbasis für den zyklischen Fall, wie dort genauer erläutert wird.

Folgerungen bei Existenz einer Normalbasis Angenommen, die Galois-Erweiterung mit Galoisgruppe besitze eine Normalbasis in Gestalt der Bahn von .