Der Satz von Hurwitz () über Quadratsummen ist ein von dem Mathematiker Adolf Hurwitz (1859–1919) im Jahre 1907 vorgelegter Lehrsatz des mathematischen Gebiets der Zahlentheorie, der sich mit der Frage der Darstellung von Quadratzahlen als Summe dreier anderer Quadratzahlen befasst.Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. 1988, S. 406–407Emil Grosswald: Representations of Integers as Sums of Squares. 1985, S. 79

Formulierung des Satzes Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:

Die einzigen Quadratzahlen in der Menge der natürlichen Zahlen , welche keine Darstellung als Summe dreier anderer Quadratzahlen aus der Menge der natürlichen Zahlen haben,Hier ist zu beachten. Die genannten drei Quadratzahlen sind also durchweg , brauchen jedoch nicht verschieden zu sein. sind die Zahlen der Form

sowie die Zahlen der Form .

Satz von Pall Der Mathematiker Gordon PallGordon Pall (1907–1987) war ein kanadischer Mathematiker und promovierte im Jahre 1929 an der Universität von Chicago unter der Anleitung von Leonard Eugene Dickson zum Ph.D. publizierte im Jahre 1933 ein zugehöriges Resultat, auf das man den Quadratsummensatz von Hurwitz zurückführen kann. Dieses besagt:Sierpiński, op. cit., S. 402Wie in der Fußnote auf Seite 402 der Monographie von Wacław Sierpiński (s. u.) angemerkt ist, wurde dieser Satz schon von René Descartes vermutet.

Für eine natürliche Zahl gilt stets die folgende Äquivalenz: ist darstellbar als Summe von vier Quadratzahlen in der Form .Diese vier Quadratzahlen sind also durchweg , brauchen jedoch nicht verschieden zu sein. .

In seiner Publikation aus dem Jahre 1933 behandelte Pall auch den Fall von vier verschiedenen Quadratzahlen:Sierpiński, op. cit., S. 407

Die einzigen natürlichen Zahlen , für die keine Darstellung als Summe von vier verschiedenen ganzen Quadratzahlen existiert, sind die Zahlen der Form mit .

Satz von Gauß Der Beweis des ersten Satzes von Pall (s. o.) lässt sich zurückführen auf ein klassisches Resultat der Zahlentheorie, welches zuerst von Carl Friedrich Gauß gezeigt wurde und wie folgt lautet:Sierpiński, op. cit., S. 391,402Dies ist im Wesentlichen der Drei-Quadrate-Satz, der auch Adrien-Marie Legendre zugewiesen wird.

Eine jede natürliche Zahl mit ist stets als Summe dreier (nicht notwendig verschiedener) ganzer Quadratzahlen darstellbar.

Siehe auch Vier-Quadrate-Satz von Lagrange Drei-Quadrate-Satz

Literatur

Einzelnachweise

Anmerkungen

Hurwitz, Satz von Hurwitz (Quadratsummen)