Umstülpung der Sphäre

Die Umstülpung der Sphäre (englisch: sphere eversion) ist ein Verfahren aus der Differentialtopologie, mit dem die Sphäre (die Oberfläche einer Kugel) im dreidimensionalen euklidischen Raum von innen nach außen umgestülpt wird, ohne dass dabei Knicke oder Risse entstehen. Die Sphäre darf sich während der Umstülpung selbst durchdringen. Anschaulich kann man sich vorstellen, die Sphäre sei aus einem Material hergestellt, das beliebig dehnbar und verformbar ist und sich selbst durchdringen kann, wobei Knicke, Risse und andere nicht stetige und nicht glatte Verformungen zur Zerstörung des Materials führen. Wenn man sich die Sphäre mit roter Farbe auf der Außenseite und mit blauer Farbe auf der Innenseite angestrichen vorstellt, wird durch die Umstülpung die blaue Innenseite nach außen gestülpt und die rote Außenseite nach innen.

Problemdefinition

Es sei

die Standardeinbettung der Einheitssphäre im . Dann ist die Umstülpung der Sphäre eine reguläre Homotopie von Immersionen , so dass und ist.

Es muss daher für jedes gelten, dass die Jacobi-Matrix von vollen Rang besitzt und dass die durch die Homotopie induzierte Homotopie des Tangentialbündels stetig ist. Dies formalisiert die anschaulichen Bedingungen, dass während der Umstülpung keine Knicke, Risse oder andere unstetige Verformungen der Sphäre oder ihrer Tangentenrichtungen auftreten dürfen.

Dass eine solche Homotopie existiert, ist nicht offensichtlich. So folgt beispielsweise für das scheinbar einfachere Problem, einen Kreis im zweidimensionalen euklidischen Raum von innen nach außen zu stülpen, aus dem Satz von Whitney-Graustein, dass eine Umstülpung des Kreises unmöglich ist.

Existenz der Umstülpung der Sphäre

Im Jahr 1959 veröffentlichte Stephen Smale einen Artikel, in dem er sich mit der Klassifikation von Immersionen der 2-Sphäre in n-dimensionalen euklidischen Räumen beschäftigt. Er beweist dort insbesondere den folgenden Satz:

Der Satz von Smale beweist also nicht nur, dass eine Umstülpung der Sphäre existiert, sondern, dass alle zweimal stetig differenzierbaren Immersionen der 2-Sphäre in den dreidimensionalen euklidischen Raum regulär homotop sind, also unter Einhaltung der oben beschriebenen anschaulichen Regeln ineinander verformt werden können.

Smale bemerkt zu seinem Satz:

Geschichte

Obwohl der Beweis des Satzes von Smale im Prinzip geometrische Konstruktionen enthält, ist es praktisch nicht möglich, aus ihnen eine explizite Visualisierung der Umstülpung der Sphäre zu konstruieren. Der Beweis der Existenz der Umstülpung der Sphäre stieß daher anfangs auf Skepsis. Smales Doktorvater Raoul Bott war zunächst der Meinung, der Beweis sei offensichtlich falsch, ließ sich aber später davon überzeugen, dass Smales Beweisführung korrekt ist. Er wünschte sich, wie viele Mathematiker, die Smales Artikel lasen, eine direkte Methode zu Umstülpung der Sphäre zu sehen. Smale selbst ist es nicht gelungen, eine explizite Umstülpung der Sphäre zu konstruieren.

Smale schreibt die Konstruktion der ersten expliziten Version der Umstülpung der Sphäre Arnold Shapiro zu. Shapiro hat nie eine Veröffentlichung über seine 1960 entdeckte Umstülpung geschrieben. Er erklärte sie dem französischen Mathematiker Bernard Morin, der sie seinem Kollegen René Thom mitteilte. Shapiros Version der Umstülpung wurde erst 20 Jahre später aufgrund der Veröffentlichungen von Bernard Morin und George Francis einem breiteren Publikum bekannt.

Die meisten Mathematiker und die breite Öffentlichkeit wurden erst durch die Arbeit von Anthony Phillips auf die Umstülpung der Sphäre aufmerksam. Phillips veröffentlichte 1966 im Scientific American seine Version der Umstülpung, die er nach einem Briefwechsel mit Thom entwickelt hatte, und von der er dachte, sie entspräche Shapiros Version, was sich später als falsch herausstellte. Phillips stellt in seinem Artikel die Umstülpung anhand von 21 Bildern dar, die verschiedene Phasen der Umstülpung repräsentieren. Dabei wird die Sphäre jeweils durch mehrere Bänder dargestellt, um die Selbstdurchdringungen bei der Umstülpung sichtbar zu machen. Diese Version der Umstülpung wurde von einigen Forschern als relativ komplex empfunden, da es für sie schwierig war, sich basierend auf den Bändern die Oberfläche der Sphäre vorzustellen und aus den Einzelbildern die Deformation der Sphäre während der Umstülpung zu visualisieren. Daher begann eine Suche nach einfacheren und symmetrischeren Versionen der Umstülpung der Sphäre.

Bernard Morin erfand 1967, basierend auf einem Vorschlag von Marcel Froissart, eine neue Version der Umstülpung, die eine deutlich geringere Anzahl an Selbstdurchdringungen aufweist als alle vorherigen Versionen. Charles Pugh fertigte Modelle verschiedener Phasen dieser Umstülpung aus Sechseckgeflecht an. Die Modelle wurden in der Evans Hall am Department of Mathematics der University of California, Berkeley, ausgestellt. Nelson Max erfuhr 1967 von Morins Umstülpung und entschloss sich, einen animierten Film über diese Version zu erstellen. Er hatte schon mehrere Jahre, unter anderem mit Knetanimation, erfolglos am Konzept für den Film gearbeitet, als er 1972 auf Pughs Modelle aufmerksam wurde. Er digitalisierte die Modelle und benutzte sie als Grundlage für seinen Film Turning a Sphere Inside Out. Zum Film existiert ein Begleitartikel, der die Umstülpung ausführlich beschreibt. Pughs Modelle wurden einige Jahre, nachdem sie von Max digitalisiert wurden, gestohlen. Sie sind noch in Max’ Film zu sehen.

Morin selbst beschrieb seine Version der Umstülpung zusammen mit Jean-Pierre Petit in mehreren kurzen Artikeln in den Comptes rendus de l’Académie des sciences sowie in einem populärwissenschaftlichen Artikel in Pour la science, der französischen Version des Scientific American. Dabei zeichnete Jean-Pierre Petit die Grafiken, die die Umstülpung der Sphäre visualisieren. Einer der Artikel beschreibt die erste in Formeln ausgedrückte Version der Umstülpung. Die Formeln enthalten aber einen Fehler, der verhindert, dass die Umstülpung eine reguläre Homotopie ist. Weiterhin wurde sie von einigen Forschern als zu kompliziert und als schlecht geeignet für eine Visualisierung der Umstülpung kritisiert. Insbesondere sind die beiden Endpunkte der Umstülpung zwar topologische Sphären, ihre Form ähnelt aber der eines zweiflügeligen Propellers mit einem halbkugelförmigen Spinner. Morin hat außerdem gezeigt, dass seine im Artikel in Pour la science beschriebene Umstülpung sowie die im Film von Max gezeigte Umstülpung die minimale Anzahl an topologischen Ereignissen besitzen. Weiterhin hat er eine Version einer Umstülpung entdeckt, die die minimale Anzahl an Gruppen von gleichzeitig auftretenden topologischen Ereignissen aufweist.

Mitte der 1970er Jahre entwickelte Bill Thurston die Idee der Corrugations (in Analogie zu den Wellen in einem Wellblech oder einer Wellpappe), mit deren Hilfe es ihm gelang, eine für ihn zufriedenstellende Version der Umstülpung der Sphäre zu konstruieren. Er veröffentlichte seine Version der Umstülpung und die Theorie der Corrugations aber nicht. Die von Thurston entwickelte Version der Umstülpung wurde Anfang der 1990er-Jahre von einem Team von Mathematikern am Geometry Center der University of Minnesota aufgegriffen und 1995 im Film Outside In veröffentlicht. Zum Film existiert ein Begleitbuch, das die Theorie der Umstülpung der Sphäre und der Version von Thurston (inklusive der Theorie der Corrugations) ausführlich erklärt.

Eine Gruppe von Forschern an der University of Illinois at Urbana-Champaign um die Mathematiker George Francis und John Sullivan sowie den Computergrafikspezialisten Silvio Levy begann 1995 eine weitere Version der Umstülpung der Sphäre zu entwickeln, die Minimax-Umstülpung (englisch: minimax eversion). Alle vorherigen Versionen der Umstülpung hatten die Modelle der Umstülpung manuell konstruiert. Im Gegensatz dazu basiert der Ansatz der Minimax-Umstülpung darauf, die Willmore-Energie der Immersionen der Sphäre während der Homotopie zu minimieren, die Umstülpung also automatisch mittels Optimierung zu berechnen. Die immersierte Sphäre soll, anschaulich gesprochen, möglichst wenig verbogen sein. Die Minimax-Umstülpung wurde 1998 im Film The Optiverse und in einer Reihe von Artikeln veröffentlicht.

Im Jahr 2012 stellte J. Scott Carter in einer Monografie eine von den Arbeiten von Bernard Morin und Marcel Froissart beeinflusste Version der Umstülpung der Sphäre vor. Wie bei der Version von Anthony Phillips wird die Umstülpung anhand von Bildern visualisiert. Dabei war Carters Ziel, die Sphäre im Verlauf der Umstülpung in den einzelnen Bildern in möglichst allgemeiner Lage, also ohne Singularitäten wie Vierfachpunkte oder tangentiale Berührungen der Oberfläche, zu zeigen. Weiterhin sollten zwischen den einzelnen Bildern möglichst einfache Topologieänderungen der Oberfläche der Sphäre und deren Projektion in die Zeichenebene erfolgen. Die resultierende Umstülpung ist nicht symmetrisch in der Zeit. Sie umfasst 81 Schritte, die der Leser in seiner Vorstellung wieder zu einer Animation zusammensetzen muss und dabei die interessanten topologischen Ereignisse, die singulär sind und daher nicht abgebildet werden, in seiner Vorstellung rekonstruieren muss.

Mikami Hirasawa und Minoru Yamamoto veröffentlichten 2017 eine weitere Version der Umstülpung der Sphäre. In ihrem Ansatz wird eine generische Homotopie der Sphäre in die zweidimensionale Ebene konstruiert. Die Homotopie ist bis auf endlich viele sogenannte Bifurkationspunkte stabil. Stabilität bedeutet hierbei, dass sich die Umgebung jedes Punktes der immersierten Sphäre als regulärer Punkt, Falte (englisch: fold point) oder Spitze (englisch: cusp point) darstellen lässt. Die Homotopie wird von der zweidimensionalen Ebene in den dreidimensionalen Raum angehoben, wobei gezeigt wird, dass für jeden Punkt- und Bifurkationstyp eine Anhebung (englisch: lift) existiert. Die resultierende Umstülpung besitzt, wie die Umstülpung von Morin, die minimale Anzahl an topologischen Ereignissen. Sie treten alle, wie bei der Umstülpung von Carter, an unterschiedlichen Zeitpunkten auf. Die Umstülpung wird an 13 diskreten Zeitpunkten durch Diagramme visualisiert. Die Autoren merken an, ihre Umstülpung sei erheblich einfacher als die von Carter.

Eine in Formeln ausgedrückte Version der Umstülpung der Sphäre wurde 2019 von Adam und Witold Bednorz beschrieben. Sie weist eine fast minimale Anzahl an topologischen Ereignissen auf. Im Gegensatz zur in Formeln beschriebenen Umstülpung von Morin ist der Anfangs- und Endpunkt der Umstülpung eine geometrische Sphäre und nicht nur eine Einbettung einer topologischen Sphäre.

Topologische Ereignisse bei der Umstülpung der Sphäre

Um die Sphäre umstülpen zu können, muss sie sich selbst durchdringen können. Hierbei treten Mehrfachpunkte auf. Dies sind Punkte, an denen mehrere unterschiedliche Punkte der Sphäre durch die Abbildung auf denselben Punkt im abgebildet werden. An diesen Stellen ist die Abbildung nicht injektiv. Die Anzahl der Punkte im Urbild eines Punktes im bestimmt die Vielfachheit des Punktes. Beispielsweise sind Dreifachpunkte die Punkte, an denen drei unterschiedliche Punkte der Sphäre auf denselben Punkt abgebildet werden. Die Menge der Selbstdurchdringungskurven der Immersion der Sphäre ist gegeben durch die Menge aller Mehrfachpunkte.

Bei der Umstülpung der Sphäre treten bestimmte topologische Ereignisse auf. Diese beschreiben Veränderungen der Topologie der Selbstdurchdringungskurven der Sphäre während der Umstülpung. Üblicherweise werden sie als D0/D2, D1, T+/T− und Q bezeichnet. Sie sind für die Beschreibung und das Verständnis der Umstülpungen wichtig.

mini|thumbtime=4|loop|Topologische Ereignisse D0 und D2; die Wikimedia-Commons-Seite enthält eine ausführliche Beschreibung des Inhalts des Videos