Die mathematische Funktion arctan2, auch atan2, ist eine Erweiterung der inversen Winkelfunktion Arkustangens und wie diese eine Umkehrfunktion der Winkelfunktion Tangens.
Sie nimmt zwei reelle Zahlen als Argumente, im Gegensatz zum normalen Arkustangens, welcher nur eine reelle Zahl zum Argument hat. Damit hat sie genügend Informationen, um den Funktionswert in einem Wertebereich von 360° (also allen vier Quadranten) ausgeben zu können, und muss sich nicht (wie der normale Arkustangens) auf zwei Quadranten beschränken.
Der volle Wertebereich wird häufig benötigt, beispielsweise bei der Umrechnung ebener kartesischer Koordinaten in Polarkoordinaten: wenn der Funktion die beiden kartesischen Koordinaten als Argumente gegeben werden, erhält man den Polarwinkel , der sich im richtigen Quadranten befindet, d. h. der die Beziehungen mini|Atan2 Definition und mit
erfüllt.
Ein mathematisch nützlicher Zusatzeffekt ist, dass Winkel, bei denen der Tangens eine Polstelle hat, nämlich die Winkel durch ganz normale reelle Koordinaten spezifiziert werden können, nämlich durch anstatt
Das kommt von der Definitionsmenge der Funktion der „gelochten“ Ebene, welche mit einer Gruppenstruktur versehen werden kann, die isomorph ist zur multiplikativen Gruppe der komplexen Zahlen ohne die Null. Diese Gruppen sind direktes Produkt der Kreisgruppe der Drehungen und der Gruppe der Streckungen um einen Faktor größer null, der multiplikativen Gruppe Erstere Gruppe lässt sich durch den Polarwinkel parametrisieren, zweitere durch den (positiven) Betrag
Lösung: Zwei Argumente Zwei vom Ursprung verschiedene Punkte und spezifizieren denselben Polarwinkel, wenn sie auf demselben Strahl durch liegen. Dann sind sie bezüglich der durch
definierten Relation äquivalent.Die Begriffsbildung gestattet u. a. eine einfachere und präzisere Spezifikation der Werte und die der auf zwei Tangens-Perioden aufgeteilten Polstelle des Tangens entsprechen. Dagegen ist der Tangenswert von Polarwinkeln auch dann derselbe, wenn der Strahl um oder also genau in den Gegenstrahl, weitergedreht ist. Informationstheoretisch betrachtet lässt der Tangens die Vorzeicheninformation von (rot in den Formeln) unter den Tisch fallen:
man nehme nur
640px|mini|Abb. 1: Graph der Arkustangensfunktion über mit gestrichelten Asymptoten. In blauen römischen Ziffern die zu passenden Quadranten in der . Da der Tangens mit periodisch ist und der Funktionsbegriff Rechtseindeutigkeit verlangt, muss für seine Umkehrung (Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden) sein Definitionsbereich mindestens auf die Periodenlänge eingeschränkt werden – in diesem Artikel auf das Intervall (s. Abb. 1). Das hat zur Folge, dass die Umkehrfunktion Arkustangens kein größeres Bild als haben kann. Dabei ist die ganze reelle Achse als Definitionsbereich des Arkustangens zulässig, weil das Bild des Tangens unter gerade ist.
Um zu einem vollwertigen Polarwinkel zu kommen, gibt es in vielen Programmiersprachen und Tabellenkalkulationen eine erweiterte Funktion, die mit den beiden kartesischen Koordinaten beschickt wird und damit genügend Information hat, um den Polarwinkel modulo (bspw. im Intervall wie der Abb. 3) und in allen vier Quadranten zurückgeben zu können.
Implementierungen Die erste Implementierung war nicht später als im Jahr 1966 in der Programmiersprache Fortran. Heute ist die Funktion auch in anderen Programmiersprachen vorhanden.
Die Funktion hat häufig den Namen so bei den Programmiersprachen C, C++, Java, Python, Matlab, R, Maxima. In vielen dieser Programmiersprachen (nicht bspw. bei LibreOffice Calc) ist die Reihenfolge der Argumente umgekehrt, also die das erste Argument – und das, obwohl es hier auf die Polarachse, die üblicherweise mit der identifiziert wird, in ganz besonderem Maße ankommt. Denn es hat gleich null zu sein für genau die Punkte auf dieser Achse. Deshalb sollte es, wenn es um die übliche geht, bei der Erstnennung der bleiben; die ergänzt dabei nur noch die Richtung, in welche der Polarwinkel zunimmt. In Common Lisp, wo optionale Argumente existieren, erlaubt die die als optionales zweites Argument zu übergeben, wobei die Standardannahme ist.
Ein weiterer vorkommender Name ist , so bei den Tabellenkalkulationen Excel und OpenOffice Calc.
In Mathematica ist eine Funktion definiert, bei der das erste Argument weggelassen werden kann.
Seit der Einführung des FPU-Befehlssatzes x87 von Intel im Jahr 1980 kennen die x87-Prozessoren einen Befehl mit im Prinzip derselben Reihenfolge der Operanden und demselben Ergebnis.
Zur Beachtung In diesem Artikel wird die Reihenfolge und der Name verwendet.
Formel Die sechs Fälle der Funktionsdefinition oder für (Quadranten und ) für (Quadrant ) für (obererDer -Hauptwert von ist .⁄unterer Rand der Bildmenge) für (Quadrant ) für für mini|270px|Abb. 2: 5 Punkte ● (Halbgeraden, Strahlen) in der und ihr -Hauptwert mit als der „gelochten“ Ebene lassen sich zur Formel
vereinigen. Die Funktion ist bis auf den Fall (die Sprungstelle, s. u.) punktsymmetrisch am Ursprung, in Formeln:
.
Dem Argument wird manchmal der Funktionswert zugeordnet, wie auch andere Sonderfälle, bspw. Not a Number, unterschiedlich behandelt werden.
Der Genauigkeitsverlust der Division wegen lässt sich für bspw. durch die Umformung
verringern (s. jedoch auch den Abschnitt
Sprungstelle und kontinuierliche Drehung des Polarwinkels 640px|mini|Abb. 3: Graph von über für mit gestrichelten Asymptoten. In blauen römischen Ziffern die entsprechenden Quadranten der . Bei zunehmendem Polarwinkel , das heißt bei einer Drehung im mathematischen Sinn (und entgegen dem Uhrzeigersinn), so bei der Wanderung vom Quadranten (entspricht ) über die Quadranten Die Platzierung der Quadranten und ist in der Abb. 3 wegen „vertauscht“ gegenüber der Abb. im Artikel Quadrant. (entspricht ) und (entspricht ) zum Quadranten (entspricht ), beginnt eine Periode in der Abb. 3 unten am (Strahl durch und den) PunktEntsprechend den 2 Argumenten der werden zwei Koordinaten als unabhängige Variable und nicht nur der Quotient aufgeführt. , von wo es auf dem roten Graphen von links unten nach rechts oben (immer in „ONO-Richtung“) weitergeht. Wie üblich soll in der Nähe der Null infinitesimal unterhalb und infinitesimal oberhalb bedeuten. Die Drehung führt weiter in den Quadranten über den (auf der 1. Winkelhalbierenden liegenden und in der Abb. 3 durch eine kleine rote Kreisfläche markierten) Punkt , zum Punkt , der einer der Polstellen des Tangens entspricht und deshalb für den Arkustangens ein unendlich ferner Punkt ist. Der wechselt (auf der waagrechten und strich-punktierten Asymptote) von nach ein Sachverhalt, den auch der rote Kringel rechts im Quadranten als und der rote Knubbel links im Quadranten als ausdrücken soll. Aus Sicht der Funktion geschieht aber nichts weiter, als dass der sich von zu ändert.
Die weitere Drehung führt durch den Quadranten über den markierten Punkt
zum Punkt , der im Koordinatenursprung liegt, und von dort durch den Quadranten über den markierten Punkt , zum Punkt . Dieser Punkt entspricht der anderen Polstelle des Tangens. Bei ihm findet dasselbe Zusammenfallen der Senke im Quadranten mit der Quelle im Quadranten statt wie oben beim Argument Die weitere Drehung durch den Quadranten führt über den markierten Punkt
schließlich zur Sprungstelle . Dieser Fall kann durch leichte Abwandlung der Bedingungen in der Formel entweder dem Fall in der Zeile darüber oder dem darunter zugeschlagen werden, wonach das Intervall der Bildmenge an seinem oberen Ende abgeschlossen und am unteren Ende offen ist, also oder eben umgekehrt
Hat die Berechnung des Polarwinkels eine kontinuierliche Drehung zu begleiten, dann kann die Funktion so angepasst oder erweitert werden, dass die Sprungstelle an einem beliebigen Punkt (einem beliebigen Strahl) des Definitionsbereichs liegt; auch bei einer Drehung über die Periodenlänge hinaus der Polarwinkel kontinuierlich zu- bzw. abnimmt. Hier kommt die Umlaufzahl ins Spiel.
Beispielsweise können in Anwendungen, bei denen es auf die Stetigkeit innerhalb einer Halbebene ankommt, folgende Formeln nützlich sein: für (Quadranten und ) für (Quadranten und ) für (Quadranten und ) für (Quadranten und ) für (Quadranten und ) für (Quadranten und ) für (Quadranten und ) Die 7 Zeilen sind so angeordnet, dass die Werte zweier über einander stehender Funktionen im gemeinsamen Definitionsgebiet übereinstimmen. Wegen der Sprungstelle von beim Strahl ist Gleichheit mit einer der stetigen Funktionen nicht möglich.
Isomorphie zur Kreisgruppe Die präzise mathematische Darstellung der folgenden wohlbekannten Abbildung bedarf sowohl auf der Urbild- wie auf der Bild-Seite zusätzlicher Hilfsabbildungen.
Auf der Definitionsmenge von kann man (in Analogie zur Definition der Addition in den rationalen Zahlen) die Verknüpfung
definieren.Diese Definition stimmt überein mit den Regeln der komplexen Multiplikation, welche auch dem Additionstheorem des Tangens zugrunde liegen.In diesem Artikel kommt es besonders auf ihre Eignung für ganzzahlige Koordinaten an. Sie bleibt wohldefiniert unter der obigen Äquivalenzrelation und die Faktormenge
erweist sich als kommutative Gruppe mit dem neutralen Element und der Inversenbildung .Von den komplexen Zahlen her weiß man, dass das von auf ganz (und nicht nur auf )
ist und dass eine abelsche Gruppe ist, was aber im Text so nicht gebraucht wird. Genauso wohldefiniert ist die induzierte Abbildung
weil äquivalente Repräsentanten denselben liefern. Aus der Summenformel des Arkustangens folgt
Wendet man auf die Funktion die Funktion
an, dann ergibt sich ein Homomorphismus mit
auf die Kreisgruppe dessen Kern das neutrale Element mit ist. Sind und mit der natürlichen Topologie ausgestattet, dann ist in beiden Richtungen stetig, mithin ein Homöomorphismus.
Genauigkeitskontrolle Mit einer kleinen Vorbereitung und mit nur einem Vergleich mehr als in den Fallunterscheidungen der Formel lässt sich das Konvergenzverhalten der Taylorreihe (des Arkustangens) kontrollieren und ggf. verbessern.
Der Winkel von zeichnet sich dadurch aus, dass er ein ganzzahliger Bruchteil, nämlich ein Achtel, des vollen Winkels von ist und gleichzeitig sein Strahl durch ganzzahlige Koordinaten geht. Quadranten lassen sich in der Koordinatenebene so ausrichten, dass ihre Begrenzungen (die definitionsgemäß stets Strahlen sind) parallel zu den Koordinatenachsen zu liegen kommen. Bei OktantenGemeint ist der Halbquadrant, der dem nautischen Gerät Oktant und der Windrose mit den vier Nebenhimmelsrichtungen entspricht, und nicht der dreidimensionale Oktant (Geometrie). kommen noch die Winkelhalbierenden als Begrenzungen hinzu. Die Feststellung, zu welchem der acht Oktanten ein Punkt gehört, ist bei einer derartigen Ausrichtung besonders einfach.
Schreibweise In diesem § werden in den Beziehungen zwischen Strahlen und Winkeln die gewohnten Operatoren mit der darübergeschriebenen Tilde verwendet, um auszudrücken, dass ein Strahl eine Äquivalenzklasse ist. Und bei den Vergleichsoperatoren wird der Strahl stets mit dem ihm am nächsten liegenden Winkel verglichen. Um Verwechslungen mit Koordinaten zu vermeiden, wird in den Dezimaldarstellungen statt des Kommas der Dezimalpunkt verwendet.
Im Folgenden wird versucht, einen beliebigen Strahl resp. Winkel mit einfachen und umkehrbaren Drehungen in das an der Polarachse symmetrische Winkelintervall zu drehen. Dann ist nämlich der Absolutbetrag des Arguments in der Taylorreihe des Arkustangens
In einer ersten Drehung wird der Strahl um gedreht, d. h. der Strahl
gebildet. Der Oktant, in den dieser Strahl fällt, sei der und die Nummerierung der Oktanten sei so gewählt, dass der erste das Winkelintervall abdeckt: Nummer des Oktanten seine untere und obere Begrenzung die obere als Strahl die obere als Polarwinkel