mini|Bravais-Gitter eines triklin anisotropen Kristalls (a≠b≠c, α,β,γ≠90°)
Die trikline Anisotropie (von tria „drei“ und klinein „neigen“, „beugen“) ist die vollständige Anisotropie eines Werkstoffs/Materials, der / das im triklinen Kristallsystem – mit einer Elementarzelle wie im Bild – vorliegt.
Triklin anisotrope Materialien wie im Bild haben folgende Eigenschaften: Das Kraft-Verformungs-Verhalten ändert sich, sobald das Material irgendwie gedreht wird. Bei reinem Zug kommt es zu Schubverzerrungen. Bei Scherungen treten Normaldehnungen auf. Scherungen in einer Ebene führen zu Scherungen in anderen Ebenen.
Die Beschreibung von triklin anisotropem linear-elastischem Materialverhalten benötigt die größtmögliche Anzahl an Materialparametern, nämlich 21. Für #Thermo- und Elektromechanische Gleichgewichtseigenschaften werden höchstens 34 weitere Parameter benötigt.
Ein Material ist isotrop, wenn es richtungsunabhängig dasselbe Kraft-Verformungs-Verhalten hat. Bei anisotropen Materialien dagegen hängt das Kraft-Verformungs-Verhalten von der Belastungsrichtung ab. Die trikline Anisotropie ist die umfassendste Art der Anisotropie und enthält alle anderen Arten als Spezialfall, z. B. monokline Anisotropie (α=γ=90°) oder Orthotropie (α=β=γ=90°).
Bedeutung Feldspate gelten als die wichtigsten gesteinsbildenden Minerale der Erdkruste und kristallisieren monoklin oder triklin.
Die kristallinen Bereiche von PET sind triklin anisotrop, ein Kunststoff, der bei Flaschen (PET-Flaschen), Folien und Textilfasern eingesetzt wird (2008 lag die Produktion bei 40 Millionen Tonnen.)
Materialtheoretische Beschreibung Symmetriegruppe Die Richtungsabhängigkeit eines Materials zeichnet sich dadurch aus, dass das Kraft-Verformungs-Verhalten unabhängig (invariant) ist gegenüber nur bestimmten Drehungen des Materials. Diese Drehungen bilden zusammen mit der Punktspiegelung die Symmetriegruppe des Materials.
Bei trikliner Anisotropie sind keinerlei Drehungen möglich, ohne dass sich das Materialverhalten ändern würde.
Das veranschaulichen zwei Experimente an einem Teilchen: Im ersten Experiment bringt man am Teilchen eine bestimmte Kraft auf und misst die resultierende Verformung. Im zweiten Experiment dreht man das Material irgendwie, aber nicht um Vielfache von 360°. Dann bringt man dieselbe Kraft auf wie im ersten Experiment und misst erneut die Verformung. Bei wirklich triklin anisotropem Material wird man im zweiten Experiment immer eine andere Verformung messen wie im ersten.
Die angesprochenen Drehungen werden in der Kontinuumsmechanik durch orthogonale Tensoren Q repräsentiert. Eine Symmetriegruppe gR besteht aus denjenigen Transformationen, die die Formänderungsenergie w invariant lassen. Mathematisch wird das mit dem Verzerrungstensor E durch
für alle E
ausgedrückt. Darin bedeutet „·“ das Matrizenprodukt und das hochgestellte „⊤“ eine Transponierung. Mit Q gehört in der Mechanik auch -Q zur Symmetriegruppe, was durch Hinzufügen des negativen Einheitstensors -1, der eine Punktspiegelung repräsentiert, zu gR berücksichtigt wird. Die Symmetriegruppe wird durch die Erzeugenden bestimmt, mit denen sämtliche Elemente der Gruppe durch Matrizenmultiplikation berechnet werden können. Die Symmetriegruppe des triklinen Materials ist in der Mechanik
mit Gruppenordnung 2
Diese kleinste aller möglichen mechanischen Symmetriegruppen drückt aus, dass das Material keinerlei Symmetrieeigenschaften besitzt. Der Einheitstensor ist mit -1 zwar bereits in gR enthalten (1=(-1)·(-1)). Seine Angabe soll hier unterstreichen, dass als einzige eigentliche Drehung, die keine Drehspiegelung ist, nur die 0-Grad-„Drehung“ in der Symmetriegruppe enthalten ist.
Invarianten In der isotropen Hyperelastizität hängt die Formänderungsenergie von den Hauptinvarianten I1,2,3 des Verzerrungstensors E ab:
w(E)=w(I1, I2, I3)
Die analoge Darstellung der Anisotropie erfordert, dass ein komplettes System von skalarwertigen Funktionen bekannt ist, die unter allen Transformationen in der Symmetriegruppe gR invariant sind. In der triklinen Anisotropie sind alle Komponenten des Verzerrungstensors in einem körperfesten System Invarianten:
E11, E22, E33, E12, E13, E23.
Darin ist Eij := êi·E·êj für i,j=1,2,3 und ê1,2,3 sind Basisvektoren einer körperfesten Orthonormalbasis. Auf diese, bei trikliner Anisotropie weitgehend beliebige Basis wird im Folgenden Bezug genommen.
Strukturvariable Die Invarianten können mit Strukturvariablen M dargestellt werden, bei denen
für alle E
gilt. Ihr Name rührt daher, dass die Variablen auf diese Weise die interne Struktur des Materials repräsentieren. Dieser Ansatz hat den Vorteil koordinatenunabhängig zu sein. Die Strukturvariablen sind in gR invariant, siehe Euklidische Transformation:
In der triklinen Anisotropie werden die beiden, zu ê1,2 gehörenden, schiefsymmetrischen Tensoren
N=[ê1]×, V=[ê2]×
als Strukturvariablen benutzt, die im ê1,2,3-System mit dem Kronecker-Delta δ die Darstellung
besitzen, siehe Kreuzprodukt#Kreuzproduktmatrix. Aus dem Matrizenprodukt des Verzerrungstensors E mit den Strukturvariablen entstehen im ê1,2,3-System die bereits genannten #Invarianten
E11=Sp(E)+Sp(E·N2), E22=Sp(E)+Sp(E·V2), E33=-Sp(E)-Sp(E·N2)-Sp(E·V2), E23=Sp(E·N·V2), E13=Sp(E·N2·V), E12=Sp(E·N·V)
Triklin anisotrope lineare Elastizität Dieser Abschnitt befasst sich mit den linearen mechanischen Eigenschaften triklin anisotroper Stoffe. Merkmale wie Wärmeausdehnung, Piezoelektrizität oder Doppelbrechung sind Gegenstand des Abschnitts #Weitere Eigenschaften.
Materialgesetz Gegeben sind zwei Tensoren zweiter Stufe und mit 3×3-Koeffizienten bzw. . Der allgemeinste lineare Zusammenhang, den es zwischen diesen Koeffizienten gibt, ist:
.
Darin sind 81 Koeffizienten mit denen die neun Komponenten auf neun Komponenten abgebildet werden. In der linearen Elastizitätstheorie, in der der symmetrische Spannungstensor eine lineare Funktion des ebenfalls symmetrischen Verzerrungstensors ist, reduziert sich die Anzahl der unabhängigen Tensor-Komponenten auf sechs, so dass nur 36 Koeffizienten unabhängig sind (wegen ). Die Hyperelastizität bewirkt die zusätzliche Symmetrie , sodass maximal 21 Koeffizienten ausreichen, um das Material zu beschreiben, und die werden bei der triklinen Anisotropie auch gebraucht.
Der Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen kann in Voigt’scher Notation auch als Matrizengleichung geschrieben werden. In einem triklin anisotropen linear elastischen Material nimmt die Spannungs-Dehnungs-Beziehung bezüglich der #körperfesten Basisvektoren die Form
.
an. Mittels der Zuordnung 11→1, 22→2, 33→3, 23→4, 13→5 und 12→6 wird die Anzahl der Indizes halbiert. Die Steifigkeitsmatrix C mit den 21 unabhängigen Komponenten Cij repräsentiert den Elastizitätstensor des Materials.
Da die Inverse der Steifigkeitsmatrix, die sogenannte Nachgiebigkeitsmatrix, ebenfalls voll besetzt ist wie die Steifigkeitsmatrix, ist ersichtlich, dass jede Spannungskomponente für sich einen vollbesetzten Verzerrungstensor verursacht.
Materialparameter Die Koeffizienten Cij der Steifigkeitsmatrix haben die Dimension von Kraft pro Fläche und sind Parameter des Materials. Die Materialparameter können nicht beliebig gewählt werden, sondern müssen gewissen Stabilitätskriterien genügen. Diese folgen aus der Forderung, dass die Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrizen positiv definit sein müssen.
Notwendig dafür ist: Alle Diagonalelemente der Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrix müssen positiv sein (damit sich das Material in Zugrichtung streckt, wenn man daran zieht, und nicht staucht) und die Determinante der Steifigkeits- und Nachgiebigkeitsmatrix muss positiv sein (damit es unter Druck komprimiert und nicht expandiert).
Notwendig und hinreichend ist, das alle sechs Eigenwerte der Steifigkeitsmatrix positiv sind, denn dann sind es die der Nachgiebigkeitsmatrix ebenfalls.
Werden an einem realen Werkstoff Materialparameter identifiziert, die diesen Stabilitätskriterien widersprechen, ist Vorsicht geboten.
Hydrostatischer Spannungszustand und Kompressibilität Der hydrostatische Spannungszustand stellt sich in einem allseitigen Druck ausgesetzten Körper ein. Wegen des auf der Erdoberfläche allgegenwärtigen Luftdrucks, ist dieser Zustand dort überall präsent. Wenn ein Körper aus kompressiblem isotropem Material allseitigem Druck ausgesetzt wird, dann schrumpft er in allen Raumrichtungen gleichermaßen. Ein kompressibles triklin anisotropes Material schrumpft in jeder Raumrichtung unterschiedlich und wird dabei geschert.
Das ist am einfachsten mit der Nachgiebigkeitsmatrix S in Voigt’scher Notation nachzuweisen:
Darin ist p der Druck. Beim triklin anisotropen linear elastischen Werkstoff kommt es bei allseitigem Druck zu Scherungen
in allen Raumebenen, eine Eigenschaft, die keine andere real existierende Form der Anisotropie aufweist.
Die Kompression wird von den oberen drei Einträgen im rechten Vektor repräsentiert und wenn deren Summe verschwindet, dann zeigt
dass das Material in erster Näherung inkompressibel ist, denn die Summe der Normaldehnungen ist die Volumendehnung εv. Darin ist V das Volumen bei p=0 und v dasjenige beim aktuellen Druck. Bei kompressiblem Material ergibt sich der Kompressionsmodul K aus dem Kehrwert:
Beim triklin anisotropen, linear elastischen Werkstoff kontrahiert das Material in allen Raumrichtungen unterschiedlich, was die lineare Kompressibilität
ausdrückt. Hier sind n1,2,3 die Koordinaten des Einheitsvektors bezüglich der #körperfesten Basisvektoren.
Richtungsabhängigkeit des Elastizitätsmoduls Der Elastizitätsmodul ist definiert als das Verhältnis der Spannung σ zur Dehnung ε bei reinem Zug:
Bei anisotropem Werkstoff ist der Modul richtungsabhängig und ergibt sich in Richtung des Einheitsvektors aus
Bei reinem Zug in Richtung ist oder in voigtscher Notation
mit den Komponenten n1,2,3 des Richtungsvektors. Mit der Nachgiebigkeitsmatrix S werden daraus die Verzerrungen und der Verzerrungstensor berechnet mit dem Ergebnis
Herleitung In der Hyperelastizität ergeben sich die Spannungen aus der Ableitung der Formänderungsenergie nach den Dehnungen. Damit die Spannungen linear in den Dehnungen sind, muss demnach die Formänderungsenergie quadratisch in den Dehnungen sein, denn nur dann ist ihre Ableitung linear. Unter Verwendung der #Invarianten ergibt sich der Ansatz
mit 21 Parametern a bis z. Nicht-linear hyperelastisches Verhalten kann modelliert werden, indem die Parameter a bis z durch Funktionen der Invarianten ersetzt werden.
Um die Formänderungsenergie nach ε ableiten zu können, müssen die Komponenten εij als Funktion des Tensors ε ausgedrückt werden. Dies gelingt mit der Darstellung des Frobenius-Skalarprodukts ":" als Spur:
Darin bedeutet "·" das Matrizenprodukt und das hochgestellte ⊤ eine Transponierung. Mit der Abkürzung für die symmetrisierten dyadischen Produkte ⊗ der #körperfesten Basisvektoren ê1,2,3 ist dannDie ij-Komponente eines beliebigen Tensors zweiter Stufe T im ê1,2,3-System ist
Die Fréchet-Ableitung hiervon nach T ist der beschränkte lineare Operator der – sofern er existiert – in allen Richtungen H dem Gâteaux-Differenzial entspricht, also
Darin ist und der lineare Operator ist das Skalarprodukt mit . Hier ist ein symmetrischer Tensor, dessen Differenzial H auch symmetrisch ist. Beim Skalarprodukt mit diesem trägt nur der symmetrische Anteil etwas bei:
wo nun H auch unsymmetrisch sein kann. Dann wird auch
geschrieben.
Aus dem Ansatz der Formänderungsenergie berechnen sich die Spannungen zu
oder in Voigt-Notation im ê1,2,3-System
Die Parameter lassen sich den Einträgen in der #Steifigkeitsmatrix direkt zuordnen. Ableitung der Spannungen nach den Dehnungen liefert den konstanten und symmetrischen Elastizitätstensor 4. Stufe: