In der Mathematik ist der äquivariante Indexsatz eine von Michael Atiyah, Graeme Segal und Isadore Singer bewiesene Formel für die Superspur von Elementen einer mit einem Dirac-Operator kommutierenden Gruppenwirkung, die die Berechnung des äquivarianten Indexes von Dirac-Operatoren aus dem -Geschlecht der Fixpunktmenge und dem äquivarianten Chern-Charakter ermöglicht. Als Spezialfall erhält man die Fixpunktformel von Atiyah–Bott.
Definition des äquivarianten Index Sei ein Clifford-Modul-Bündel mit -Gradierung, und eine kompakte Lie-Gruppe, die auf und wirkt, so dass äquivariant ist. Auf habe man einen mit der Clifford-Wirkung kompatiblen -invarianten Zusammenhang. Sei der assoziierte Dirac-Operator mit Einschränkungen .
Dann kommutiert mit der -Wirkung und der Kern ist eine endlich-dimensionale Darstellung von . Der äquivariante Index von ist dann definiert als der Charakter dieser Darstellung, also als die Superspur
Für erhält man den Fredholm-Index von .
Atiyah-Bott-Fixpunktformel
Als eine Anwendung der Atiyah-Bott-Fixpunktformel erhält man für ein -gradiertes Hermitesches Vektorbündel über einer Riemannschen Mannigfaltigkeit : Wenn ein Differentialoperator erster Ordnung auf den Schnitten ist mit und ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator, und wenn die Wirkung von auf nur isolierte nicht-ausgeartete Fixpunkte hat und sich zu einer mit kommutierenden Bündelabbildung von heben lässt, dann ist
mit .
Asymptotische Entwicklung
Sei der Integralkern des Operators und . Dann hat für eine asymptotische Entwicklung
mit . Das Symbol von ist , wobei das Normalenbündel der Fixpunktmenge bezeichnet.
Aussage des äquivarianten Indexsatzes
Der äquivariante Index eines äquivarianten Dirac-Operators kann berechnet werden als . Hierbei bezeichnet das Â-Geschlecht der Fixpunktmenge , den äquivarianten Chern-Charakter und das Berezin-Integral.
Literatur Berline, Nicole; Getzler, E.; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operators, Berlin, New York: Springer-Verlag
Kategorie:Satz (Differentialgeometrie)